[論文レビュー] On the vanishing viscosity limit of the isentropic Navier-Stokes system

Eduard Feireisl, Martina Hofmanová|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）上での等エントロピーナビエ＝ストークス系の無粘性極限において、任意の弱収束する解の列がエネルギーノルムで強収束するか、さもなければエーラー系の解に弱収束しないことを確立している。主な結果は、非自明な解をもたない唯一の解をもつ微分方程式系を介して乱流欠損測度を解析することによって得られ、圧縮性と非圧縮性の場合を区別する。

ABSTRACT

We show that any weakly converging sequence of solutions to the isentropic Navier-Stokes system on the full physical space $R^d$, $d=2,3$, in the vanishing viscosity limit either (i) converges strongly in the energy norm, or (ii) the limit is not a weak solution of the associated Euler system. The same result holds for any sequence of approximate solutions in the spirit of DiPerna and Majda. This is in sharp contrast to the incompressible case, where (oscillatory) approximate solutions may converge weakly to solutions of the Euler system. Our approach leans on identifying a system of differential equations satisfied by the associated turbulent defect measures and showing that it only has a trivial solution.

研究の動機と目的

• 全空間$\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）における等エントロピーナビエ＝ストークス系の無粘性極限における解の挙動を解明すること。
• 弱収束する解の列が関連するエーラー系の弱解に収束できるかどうかを特定すること。
• 振動的近似解が弱収束してエーラー解に到達しうる非圧縮性の場合と比較し、圧縮性の場合を対比すること。
• 弱収束が成立するか否かを、欠損測度解析を用いて、強収束であるか、あるいは有効なエーラー解でないかのいずれかに分類すること。

提案手法

• 弱収束する解の列に関連する乱流欠損測度を記述する微分方程式系を定式化する。
• ナビエ＝ストークス系の力学的条件下で、これらの欠損測度の構造を解析し、閉じた方程式系を満たすことを示す。
• この方程式系の唯一の解が自明解であることを証明し、非自明な欠損測度が持続できないことを示す。
• この結果を、正確な解およびディペルナ＝マジャダ枠組みにおける近似解に適用する。
• エネルギー推定と弱収束の議論を用いて、粘性が消える際の解の挙動を制御する。
• 等エントロピー系の構造を活用し、非自明な弱収束を引き起こす可能性のある振動的または濃縮的効果を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等エントロピーナビエ＝ストークス系の無粘性極限における解の弱収束列が、エーラー系の弱解に収束できるか。
• RQ2 圧縮性領域における解の列がエーラー系の解に弱収束するための条件は何か。
• RQ3 等エントロピーナビエ＝ストークス方程式の無粘性極限における乱流欠損測度はどのように振る舞うか。
• RQ4 弱収束に関して、圧縮性の場合と非圧縮性の場合の根本的な違いは何か。
• RQ5 等エントロピーナビエ＝ストークス系の力学的条件下で、欠損測度のための方程式系が非自明な解をもつ可能性はあるか。

主な発見

• $\mathbb{R}^d$（$d=2,3$）上での等エントロピーナビエ＝ストークス系の弱収束する解の列は、無粘性極限において、エネルギーノルムで強収束するか、さもなければエーラー系の解に弱収束しない。
• 乱流欠損測度が満たす微分方程式系は、唯一の自明解しか持たない。これにより、非自明な濃縮または振動効果が排除される。
• この結果は、正確な解に限らず、ディペルナ＝マジャダの意味での近似解に対しても成り立つ。
• 解析により、圧縮性と非圧縮性ナビエ＝ストークス系が弱収束の文脈で根本的に異なることが明らかになった。
• 非自明な欠損測度が存在しないことは、弱収束が強収束でない限り、エーラー系の弱解が得られないことを示唆する。
• 鍵となるメカニズムは、欠損測度方程式の構造であり、それが自明解でのみ解けることが示された。