[論文レビュー] On the violation of Thurston-Bennequin inequality for a certain non-convex hypersurface

Atsuhide Mori|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、3より大きい次元の接触多様体において、Thurston-Bennequin不等式に反する非凸超曲面が存在し、かつそのような超曲面は滑らかな凸超曲面による近似をもてないことを示している。構成では、1-jet空間 $J^1(\bbR^n, \bbR)$ 内の特定の超曲面を用い、特異な特徴的 foliation を持つもので、その中にはソース点とシンク点が存在し、それらの指数が不等式に反する。さらに、シンプレクティック位相的制約を用いて、凸性の障害を用いて非近似可能性を証明している。

ABSTRACT

We show that any open subset of a contact manifold of dimension greater than three contains a certain non-convex hypersurface violating the Thurston-Bennequin inequality.

研究の動機と目的

• 3次元接触多様体における凸曲面に成立する Thurston-Bennequin 不等式が、高次元に拡張されるかを調査すること。
• $n > 1$ に対して、$J^1(\bbR^n, \bbR)$ 内に特定の非凸超曲面を構成し、不等式に反することを示すこと。
• そのような超曲面が、同じ接触多様体内での任意の凸超曲面による滑らかな近似をもてないことを示すこと。
• 3次元における接触超曲面の性質（すべての曲面が凸曲面により近似可能）と高次元における性質の対比を明らかにすること。

提案手法

• 超曲面 $\Sigma \subset J^1(\bbR^n, \bbR)$ を、$\Sigma$ の近傍で定義されたベクトル場 $X$ を用いて構成し、所定の接触ハミルトニアン関数と特異点を指定する。
• 特徴的 foliation $\mathcal{F}_\Sigma$ を、$T\Sigma \cap \ker\alpha$ のシンプレクティック直交補空間により定義する。この foliation は、円柱座標系における原点に孤立した特異点を有する。
• 特異点の指数を計算する：ソース点 ($S_+$) とシンク点 ($S_-$) の両方が指数 1 を持ち、Thurston-Bennequin 不等式に反する。
• Eliashberg-Floer-McDuff の定理を用いて、凸シンプレクティック多様体の境界が球面と他の成分の互いに交わらない直和を含めることはできないことを示し、$\Sigma$ が凸曲面により近似可能であると仮定すると矛盾が生じることを導く。
• 被覆構成と射影を用いて、四分円球モデル上の foliation 構造を解析し、楕円型および双曲型特異点を同定する。
• 接触形式 $\beta = (2r^2 - 1)dz + r^2(r^2 - 1)d\theta + \sum_{i=1}^{n-1}(x_i dy_i - y_i dx_i)$ を用いて接触構造を定義し、必要な幾何的条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3より大きい次元の接触多様体における非凸超曲面が、Thurston-Bennequin 不等式に反することができるか？
• RQ2 $n > 1$ に対して、$J^1(\bbR^n, \bbR)$ 内に、Thurston-Bennequin 不等式に反するが、滑らかな凸超曲面による近似が不可能な超曲面が存在するか？
• RQ3 このような超曲面が凸超曲面により滑らかに近似できない理由となる、位相的または幾何的障害は何か？
• RQ4 3次元と高次元接触多様体における特徴的 foliation 及び特異点の性質には、どのような相違があるか？

主な発見

• $n > 1$ に対して $J^1(\bbR^n, \bbR)$ 内に構成された超曲面 $\Sigma$ は、指数 1 のシンク点 $p \in S_-$ と指数 1 のソース点 $p \in S_+$ を持ち、$\sum_{p \in S_-} \mathrm{Ind}\,p = 1 > 0$ となるため、Thurston-Bennequin 不等式に反する。
• 境界 $\partial\Sigma$ は接触型である。特徴的 foliation が境界に横断的であるため、不等式の定式化に必要な幾何的条件を満たしている。
• 任意の凸超曲面による $\Sigma$ の滑らかな近似は不可能である。仮にそのような近似が存在すると仮定すると、Eliashberg-Floer-McDuff の定理がシンプレクティック境界に関する制約をもたらし、矛盾が生じる。
• $\Sigma$ 上の特異的 foliation $\mathcal{F}_\Sigma$ にはソース点とシンク点が存在し、被覆写像による押し出しにより、追加の楕円型および双曲型特異点が特定され、非凸性が確認される。
• 接触ハミルトニアン関数を備えたベクトル場 $X$ を用いることで、接触構造が保たれ、特異点が孤立的かつ指数 1 となるように構成されている。
• この結果は、$n > 1$ に対して $J^1(\bbR^n, \bbR)$ の任意の開集合で成り立ち、高次元接触幾何における現象が一般的であることを示している。