[論文レビュー] Reeb foliations on S^5 and contact 5-manifolds violating the Thurston-Bennequin inequality

Atsuhide Mori|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、S⁵ における接触形式の2次変形を用いて、1パラメータ族の接触構造を構成し、奇数次元の球面（特にS⁵）上で、Reeb成分をもつ codimension-one の葉層に収束する。また、Thurston-Bennequin 不等式の凸型を導入し、Sol型部分多様体に沿った一般化されたLutzねじりを用いて、S⁵ 上に存在する、この不等式を破る、非標準的かつ非可縮可能な接触構造を示した。それに伴い、対応する葉層の変形が生じる。

ABSTRACT

This article describes the following results which relate to each other; i) convergence of high dimensional contact structure to codimension one foliation with Reeb component, ii) relation between Nil-type and Sol-type contact submanifolds of S^5, iii) definition of convex Thurston-Bennequin inequality, and iv) generalization of Lutz twist via convex hypersurface theory. The other article concerning non-convex hypersurfaces is included as an appendix.

研究の動機と目的

• 高次元接触構造を、Reeb成分をもつcodimension-oneの葉層へ連続的変形すること。
• S²ⁿ⁺¹における接触超曲面のための、Thurston-Bennequin不等式の凸型を確立すること。
• 凸超曲面理論を用いて、S⁵ 上の非可縮可能な接触構造を生成する、Lutzねじりの一般化を実行すること。
• 特異点論を用いて、標準的S⁵におけるNil型とSol型接触部分多様体の幾何的関係を明確にすること。
• 接触構造の変形から生じる一般化されたReeb成分をもつS⁵上の葉層の明示的例を提供すること。

提案手法

• 元の接触形式αと、束N²ⁿ⁻¹ 上の閉1形式νを含む変形形式との間で2次補間を用いて、M²ⁿ⁺¹ 上の1パラメータ族の接触形式αₜを構成する。
• tubular近傍N²ⁿ⁻¹ × D² 上の関数fₜ(ρ), gₜ(ρ), h(ρ) を用いて変形を定義し、fₜとgₜが初期関数とカットオフ関数の間を補間するようにする。
• cutoff関数τ = (1−t)² を用いて、tubular近傍の外部への接触形式αₜの拡張を行い、滑らかでかつαₜ ∧ (dαₜ)ⁿ > 0 となるようにする。
• 条件ν ∧ (dβ)ⁿ⁻¹ = 0 および dν = 0 を用いて、極限形式α₁がα₁ ∧ dα₁ = 0 を満たすことを保証し、葉層が得られることを示す。
• S⁵ 内のSol型接触部分多様体に沿って、凸超曲面理論を用いて一般化されたLutzねじりを適用し、非凸的かつ非可縮可能な接触構造を生成する。
• MilnorファイブレーションおよびLefschetzファイブレーションの技法を用いて、得られた葉層変形を解析し、Milnorファイバーのオイラー標数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元接触構造は、線形変形ではなく2次変形を用いることで、Reeb成分をもつcodimension-oneの葉層に収束可能か？
• RQ2 標準的S⁵におけるNil型とSol型接触部分多様体の正確な幾何的関係は何か？
• RQ3 S²ⁿ⁺¹におけるすべての凸超曲面に対して、凸型Thurston-Bennequin不等式が成り立つか？また、非凸型では破れる可能性はあるか？
• RQ4 凸超曲面理論を用いて、高次元におけるLutzねじりを一般化し、非標準的接触構造を生成可能か？
• RQ5 S⁵ 上に、凸Thurston-Bennequin不等式を破る接触構造が存在し、一般化されたReeb成分をもつ葉層に対応するか？

主な発見

• 束が閉1形式νをもち、ν ∧ (dβ)ⁿ⁻¹ = 0 を満たす限り、S⁵ 上の1パラメータ族の接触構造はt → 1のとき、Reeb成分をもつcodimension-oneの葉層に収束する。
• f₁,ₖ の特異点のMilnorファイバーのオイラー標数はχ(F) = 11 + k₁ であり、f₂,ₖ₁,ₖ₂ ではχ(F) = 10 + k₁ + k₂ である。これはMilnorファイバー上のLefschetzファイブレーション構造を用いて計算された。
• S⁵ 上の非標準的接触構造は、Sol型部分多様体に沿った一般化されたLutzねじりによって構成され、凸Thurston-Bennequin不等式を破る。
• 接触構造の収束によって得られる葉層は、2つの死の領域（dead-end components）からなる：ρ ≤ 1/2 のReeb成分とその補集合で、方向性はe(1/2)の符号によって決定される。
• 本稿では、標準的特異点論の手法とは別に、Lefschetzファイブレーションを用いたMilnor数の計算の新しいアプローチを提供している。
• S²ⁿ⁺¹内に、凸Thurston-Bennequin不等式を破る非凸超曲面が存在することを示しており、不等式が成立するには凸性が本質的であることが示唆される。