[論文レビュー] On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field

V. V. Kisel, Е. М. Ovsiyuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、テンソルに基づく共変的アプローチを用いたDuffin-Kemmer-Petiau (DKP)形式を用いて、クーロンポテンシャル内におけるスピン-1粒子の相対論的量子的挙動を調査する。Wigner関数を用いて変数を分離し、10成分の径方向系を2つのパリティに分解された部分系に還元する。1つはスカラー粒子の場合と同一の4方程式系であり、もう1つはエネルギー準位に寄与する1つの退化ヘン関数方程式と、未解決の複雑な方程式を含む6方程式系である。

ABSTRACT

Quantum-mechanical system -- spin 1 particle in external Coulomb field is studied on the base of the matrix Duffin-Kemmer-Petiau formalism with the use of the tetrad technique. Separation of the variables is performed with the help of Wigner functions. With the help of parity operator, the radial 10-equation system is divided into two subsystem of 4 and 6 equations that correspond to parity P=(-1)^{j+1} and P= (-1)^{j} respectively. The system of 4 equation is reduced to a second order differential equation which coincides with that arising in the case of a scalar particle in Coulomb potential. It is shown that the 6-equation system reduces to two different second order differential equations for a "main" function. One main equation reduces to a confluent Heun equation and provides us with energy spectrum. Another main equation is a more complex one, and any solutions for it are not constructed.

研究の動機と目的

• 行列形式のDuffin-Kemmer-Petiau形式を用いて、外部のクーロンポテンシャル内におけるスピン-1粒子の相対論的力学を分析すること。
• 一般共変性を満たすテンソル技術を適用し、球座標系における径方向方程式を簡略化すること。
• Wigner関数を用いて変数を分離し、パリティ量子数によって解を分類すること。
• スピン-1系のエネルギー準位を導出し、スカラーおよびスピン-1/2系と比較すること。
• 非相対論的極限を検討し、超幾何関数を用いて線形独立な解を構成すること。

提案手法

• スピン-1粒子をクーロン場に置くために、対角的球座標テンソルを用いたDuffin-Kemmer-Petiau (DKP)形式を用いる。
• Wigner関数 $ D^{j}_{-m\tau}( heta,\theta,0) $（$ \tau = -1,0,+1 $）を用いて、角度変数と径方向変数を分離する。
• パリティ演算子 $ \tilde{\Pi} $ を導入し、10成分の径方向系を2つの部分系に分解する：パリティ $ P = (-1)^{j+1} $ の4方程式系と、$ P = (-1)^j $ の6方程式系。
• 4方程式系を、クーロンポテンシャル内におけるスカラー粒子と同一の2階微分方程式に還元する。
• 6方程式系を、『主関数』の2つの2階微分方程式に変換する。1つは退化ヘン方程式に還元され、もう1つは未解決のまま残る。
• 変数変換 $ x = 2\sqrt{-2\epsilon M}\,r $ と、退化超幾何関数のアンザッツを用いてヘン型方程式を解き、エネルギー準位を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルに基づく共変的定式化を用いたDKP形式は、クーロンポテンシャル内におけるスピン-1粒子をどのように記述するか？
• RQ2 Wigner関数による変数分離の後、径方向系の構造はどのようになるか？
• RQ3 パリティ量子数 $ P = (-1)^j $ と $ P = (-1)^{j+1} $ は、DKP系の解をどのように分類するか？
• RQ4 6方程式系は解ける微分方程式に還元可能か？ もし可能であれば、エネルギー準位を導くのはどの方程式か？
• RQ5 解の非相対論的極限は何か？ また、特殊関数を用いてどのように表現されるか？

主な発見

• パリティ $ P = (-1)^{j+1} $ の4方程式系は、クーロンポテンシャル内におけるスカラー粒子と同一の2階微分方程式に還元される。
• パリティ $ P = (-1)^j $ の6方程式系は、エネルギー準位を提供する1つの退化ヘン方程式に還元される。
• エネルギー準位は $ \epsilon = -\frac{me^4}{2\hbar^2(1 + \nu + n)^2} $ として導出され、ここで $ \nu = \sqrt{j(j+1)} $ であり、主量子数 $ n' = 1 + \nu + n $ に対する水素様スペクトルと一致する。
• 6方程式系の2番目の方程式は解析的に未解決のままであり、これに対する解は構成されていない。
• 非相対論的極限において、超幾何関数を用いて3つの線形独立な解が構成された。
• 本手法により、物理的に意味のあるパリティ部分空間にDKP系がうまく分離され、主要なスペクトル方程式が特定された。