[論文レビュー] On the Wiener index and Laplacian coefficients of graphs with given diameter or radius

Aleksandar Ilić, Andreja Ilić+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2011

Graph theory and applications参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、与えられた直径または半径をもつ木および連結グラフのうち、すべてのラプラシアン係数を同時に最小化するものを特定する。そのために、ラプラシアン係数と分割グラフにおけるマッチング数との関係を用いる。主な結果として、直径 $ d $ の $ n $ 頂点木においてはキャタピラー $ C_{n,d} $ がすべての係数を最小化し、半径 $ r $ のグラフにおいては $ C_{n,2r-1} $ が同様に最小化することを示す。これは、Wiener指数最小化に関する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple undirected $n$-vertex graph with the characteristic polynomial of its Laplacian matrix $L(G)$, $\det (λI - L (G))=\sum_{k = 0}^n (-1)^k c_k λ^{n - k}$. It is well known that for trees the Laplacian coefficient $c_{n-2}$ is equal to the Wiener index of $G$. Using a result of Zhou and Gutman on the relation between the Laplacian coefficients and the matching numbers in subdivided bipartite graphs, we characterize first the trees with given diameter and then the connected graphs with given radius which simultaneously minimize all Laplacian coefficients. This approach generalizes recent results of Liu and Pan [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 60 (2008), 85--94] and Wang and Guo [MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 60 (2008), 609--622] who characterized $n$-vertex trees with fixed diameter $d$ which minimize the Wiener index. In conclusion, we illustrate on examples with Wiener and modified hyper-Wiener index that the opposite problem of simultaneously maximizing all Laplacian coefficients has no solution.

研究の動機と目的

• 固定直径をもつ木におけるWiener指数最小化に関する先行研究を、すべてのラプラシアン係数を同時に最小化する問題に拡張すること。
• 固定半径 $ r $ をもつ連結 $ n $ 頂点グラフのうち、すべてのラプラシアン係数を最小化する構造を同定すること。
• LiuとPan、およびWangとGuoの結果を一般化し、直径 $ d $ の木において $ C_{n,d} $ がすべての $ c_k $ 係数を最小化することを証明すること。
• 反例を用いて、すべてのラプラシアン係数を同時に最大化する問題には解がないことを示すこと。

提案手法

• 木 $ T $ の $ k $ 番目のラプラシアン係数 $ c_k(T) $ と、$ S(T) $ の $ k $ マッチング数 $ m_k(S(T)) $ の間の恒等式 $ c_k(T) = m_k(S(T)) $ を用いる。
• 補題 2.2 を適用し、パスの直積におけるマッチング数が、パス長が可能な限り等しくなるように最小化されることを示し、これによりキャタピラーの分割グラフにおけるマッチング数を比較する。
• 一般のキャタピラー $ C(a_1,\dots,a_{d-1}) $ の分割におけるマッチングと $ C_{n,d} $ のそれとの間の対応関係を構築し、$ m_k(S(C_{n,d})) \leq m_k(S(C(a_1,\dots,a_{d-1}))) $ を示す。
• ラプラシアン固有値の入れ子性を用いて、辺の削除がラプラシアン係数を増加させないことを示し、一般のグラフからスパニングツリーへの還元を可能にする。
• $ c_k(C_{n,2r-1}) \leq c_k(C_{n,2r}) $ であるという結果を応用し、半径 $ r $ のグラフにおいて $ C_{n,2r-1} $ が係数を最小化することを示す。
• 20 頂点までの木について計算的検証を実施し、$ c_k $ を最大化する極値グラフを分析する。特に $ c_{n-2} $（Wiener指数）および $ c_{n-3} $（修正ハイパーウィーナー指数）に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定直径 $ d $ の $ n $ 頂点木の中で、すべてのラプラシアン係数 $ c_k $ を同時に最小化するのはどのグラフか？
• RQ2 固定半径 $ r $ の連結 $ n $ 頂点グラフの中で、すべてのラプラシアン係数 $ c_k $ を同時に最小化するのはどのグラフか？
• RQ3 すべてのラプラシアン係数を同時に最大化する問題は解けるか？もし解けないなら、その理由は何か？
• RQ4 固定直径または半径のもとで、Wiener指数および修正ハイパーウィーナー指数の極値グラフはどのように比較できるか？
• RQ5 キャタピラーがすべての $ k $ に対して最小のラプラシアン係数をもつために必要な構造的性質は何か？

主な発見

• 直径 $ d $ の $ n $ 頂点木の中で、すべてのラプラシアン係数 $ c_k $（$ k = 0,1,\dots,n $）を最小化するのは唯一のキャタピラー $ C_{n,d} $ である。
• 半径 $ r $ の連結 $ n $ 頂点グラフにおいて、すべてのラプラシアン係数 $ c_k $ を最小化するのはキャタピラー $ C_{n,2r-1} $ である。
• Wiener指数 $ c_{n-2} $ と修正ハイパーウィーナー指数 $ c_{n-3} $ は、それぞれ $ C_{n,d} $ および $ C_{n,2r-1} $ によって最小化される。
• すべてのラプラシアン係数を同時に最大化するような単一のグラフは存在せず、$ c_{n-2} $ と $ c_{n-3} $ の極値グラフは、$ n $ が小さい場合でも異なる。
• $ n=18 $、直径 $ d=4 $ の場合、$ c_{16} $（Wiener指数）を最大化する木と $ c_{15} $（修正ハイパーウィーナー指数）を最大化する木は異なる。
• $ n=17 $、半径 $ r=5 $ の場合、$ c_{15} $（Wiener指数）を最大化する木と $ c_{14} $（修正ハイパーウィーナー指数）を最大化する木は異なる。