[論文レビュー] On thickness and thinness of Banach spaces

Trond A. Abrahamsen, Johann Langemets+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文はバナッハ空間におけるWhitleyの厚さおよび薄さの指標を調査し、無限次元バナッハ空間に $c_0$ のコピーを含む場合、$c_0$ がM-理想となり、両方の指標が1に等しくなるように再ノルム化できることを確立している。さらに、厚さと薄さの指標が $ε_p$-和において異なる挙動を示すことが示され、厚さの指標が $[1,2]$ の任意の値を取り得る一方で、薄さの指標は1を維持することが可能であることが明らかになった。

ABSTRACT

The aim of this note is to complement and extend some recent results on Whitley's indices of thinness and thickness in three main directions. Firstly, we investigate both the indices when forming $\ell_p$-sums of Banach spaces, and obtain formulas which show that they behave rather differently. Secondly, we consider the relation of the indices of the space and a subspace. Finally, every Banach space $X$ containing a copy of $c_0$ can be equivalently renormed so that in the new norm $c_0$ is an M-ideal in $X$ and both the thickness and thinness index of $X$ equal 1.

研究の動機と目的

• バナッハ空間におけるWhitleyの厚さおよび薄さの指標に関する最近の結果を拡張・補足すること。
• $\ell_p$-和におけるバナッハ空間の厚さおよび薄さの指標の挙動を分析すること。
• バナッハ空間の指標とその部分空間の指標との関係を調査すること。
• 任意の $c_0$ のコピーを含むバナッハ空間が、$c_0$ がM-理想となり、両方の指標が1に等しくなるような同値ノルムを備えることができることを示すこと。

提案手法

• $c_0$ を含むバナッハ空間 $X$ に新しいノルムを構成するために、ネット収束とTychonoffの定理の使用。
• $c_0$-部分空間 $Y$ への射影 $P_Y$ のネットを構成し、極限ノルム $|||\cdot|||$ を定義する。
• 極限ノルムが $\frac{1}{2}\|x\| \leq |||x||| \leq 3\|x\|$ を満たし、$c_0$ の等長埋め込みが保たれることの証明。
• 新しいノルムがほぼ正方形であることを示し、[2] の結果により $t(X) = 1$ が得られることの証明。
• 稠密な列と近似を用いて、ノルムがM-理想の性質を満たすことを示し、$c_0$ が新しいノルムでM-理想であることを確認する。
• 単位球が $e_1$ および $-e_1$ を中心とする半径1の閉球の和集合で覆われることを示し、$T(X) = 1$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間の厚さおよび薄さの指標は、空間に $c_0$ を含む場合に独立して制御可能か。
• RQ2 $\ell_p$-和におけるバナッハ空間の厚さおよび薄さの指標の挙動はいかなるものか。
• RQ3 バナッハ空間の指標とその部分空間の指標との関係は何か。
• RQ4 $c_0$ を含むバナッハ空間を再ノルム化し、$c_0$ がM-理想となり、両方の指標が1に等しくなるようにできるか。
• RQ5 $[1,2]$ の任意の値が、薄さの指標を1に保ったまま、厚さの指標として実現可能か。

主な発見

• $\alpha \in [1,2]$ に対して、$T(X) = \alpha$ かつ $t(X) = 1$ となるバナッハ空間 $X$ が存在することを示し、薄さの指標が1である空間が任意の厚さをとれることを示した。
• $\ell_p$-和におけるバナッハ空間は、厚さと薄さの指標において異なる挙動を示し、$T(\ell_p[X_i])$ および $t(\ell_p[X_i])$ の明示的な公式が導出された。
• 無限次元バナッハ空間 $X$ が $c_0$ のコピーを含む場合、$c_0$ がM-理想となり、$T(X) = 1$ および $t(X) = 1$ となる同値ノルムが存在することを示した。
• 射影のネット収束による新しいノルムは、$c_0$ がM-理想であり、単位球が $\pm e_1$ を中心とする半径1の2つの球の和集合で覆われることを保証し、$T(X) = 1$ の証明に寄与した。
• 新しいノルムにおいて $t(X) = 1$ が確認された。これは、この再ノルム化において空間がほぼ正方形であるためである。
• この論文は、$T(X) = 2$ であることは $X$ が直交的であることに同値であり、$t(X) = 1$ であることは $X$ がほぼ正方形であることと同値であることを確立し、指標と幾何的性質との関係を結んだ。