[論文レビュー] On trivial zeros of Perrin-Riou's $L$-functions

Denis Benois|ArXiv.org|Jun 16, 2009

Meromorphic and Entire Functions参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、クリスタリンな $p$-進表現に対して、Benoisの一般化された $γ$-不変量とPerrin-Riouの $p$-進 $L$-関数の間の整合性を確立する。Nekovářのセイマー複体とIwasawa理論を用いて、$L$-関数が $s=0$ で自明な零点を持つ場合に、$γ$-不変量がIwasawa $L$-関数の特殊値に対するBloch-Kato型の公式において追加の因子として現れることを証明する。これは、$p$-進 $L$-関数の文脈における $γ$-不変量の算術的意義を裏付ける。

ABSTRACT

In the previous paper we generalized Greenberg's construction of the $\Cal L$-invariant to semistable representations. Here we prove that this construction is compatible with Perrin-Riou's theory of $p$-adic $L$-functions

研究の動機と目的

• Benoisの一般化された $γ$-不変量とPerrin-Riouの $p$-進 $L$-関数の間の整合性を確立すること。
• Iwasawa $L$-関数の特殊値に対するBloch-Kato型の公式において、$γ$-不変量が追加の因子として現れることを証明すること。
• Greenbergの $γ$-不変量の構成を、非通常型、半安定型、およびクリスタリンな $p$-進表現へと拡張すること。
• 自明な零点を伴う $p$-進 $L$-関数の文脈において、$γ$-不変量の算術的意義を検証すること。

提案手法

• ガロアコホモロジーと $p$-進 $L$-関数を結びつけるために、Nekovářのセイマー複体の道具立てを用いる。
• $(\varphi,\Gamma)$-加群およびRobba環の理論を用いて、$p$-進表現の構造を分析する。
• 複体 $C_{\text{Iw},\psi}^\dag(T)$ とIwasawaコホモロジー複体 $\mathbb{R}\Gamma_{\text{Iw}}(K,T)$ の間の擬同型を構成する。
• Perrin-Riouによる $p$-進 $L$-関数の補間を介して定義されるIwasawa理論的 $L$-関数 $L_{\text{Iw},h}(T,N,s)$ を用いる。
• Euler-Poincaré直線 $\Delta_{\text{EP}}(V)$ 及びそのDeligne周期と $p$-進周期による自明化を用いる。
• 半単純なフロベニウス作用を持つクリスタリンおよび半安定な表現の理論を応用し、適切な部分空間 $D\subset\mathbb{D}_{\text{cris}}(V)$ を介して $γ$-不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自明な零点を伴う場合に、Benoisの一般化された $γ$-不変量はPerrin-Riouの $p$-進 $L$-関数とどのように関係するか？
• RQ2 Iwasawa $L$-関数の特殊値公式における $γ$-不変量の明確な算術的役割は何か？
• RQ3 $L$-関数が $s=0$ で零点を持つ場合、$γ$-不変量はBloch-Kato公式における補正因子として解釈可能か？
• RQ4 通常型の場合に、$γ$-不変量はGreenbergの古典的 $γ$-不変量と一致するか？
• RQ5 $γ$-不変量はセイマー複体およびIwasawaコホモロジーの構造とどのように相互作用するか？

主な発見

• 自明な零点を伴う場合、$L$-関数が $s=0$ で $e=\dim_{\mathbb{Q}_p}(D^{\varphi=p^{-1}})$ の位数の零点を持つとき、$γ$-不変量 $\mathcal{L}(D,V)$ がIwasawa $L$-関数 $L_{\text{Iw},h}(T,N,s)$ の特殊値公式において追加の因子として現れる。
• 特殊値 $L_{\text{Iw},h}^{*}(T,N,0)$ は、$p$-進的に $\Gamma(h)^{d_{+}(V)}\mathcal{L}(D,V)\,E_p^*(V,1)\,\det_{\mathbb{Q}_p}\left(\frac{1-p^{-1}\varphi^{-1}}{1-\varphi}\big|_{D_{-1}}\right)\Omega_p(\omega_T,\omega_B)i_{\omega_N,\omega_B,p}(\Delta_{\text{EP}}(T))$ に比例する。これは、$γ$-不変量の算術的意義を裏付ける。
• この $γ$-不変量の構成は、Perrin-Riouの $p$-進 $L$-関数理論と整合的であり、Greenbergの $γ$-不変量を非通常型の状況へと拡張する。
• $γ$-不変量が非ゼロであることは、Iwasawa $L$-関数が $s=0$ で位数 $e$ の零点を持つことと同値であり、主要項が明示的に $γ$-因子を捉えている。
• $C_{\text{Iw},\psi}^\dag(T)$ と $\mathbb{R}\Gamma_{\text{Iw}}(K,T)$ の間の擬同型は、コホモロジー的枠組みが $p$-進 $L$-関数の補間と一貫していることを保証する。
• この公式により、自明な零点が存在する場合に $γ$-不変量が特殊値公式を補正することを確認し、Bloch-Kato予想を非通常型の場合へと一般化する。