[論文レビュー] On Type II noncommutative geometry and the JLO character

Alan Lai|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学における重要な道具であるJLO特性を、型Iから型IIの非可換幾何学へと拡張する。型IIフォン・ノイマン代数に付随する非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールに対して定義することで、その拡張を達成する。この設定においてJLO特性が整形式的コホモロジー類として定義するものと、コンネス＝シュルン特性が定義するものとが同一であることを証明し、無限次元的かつ非トレース的幾何構造における実数値インデックスを有する型I結果を一般化する。

ABSTRACT

The Jaffe-Lesniewski-Osterwalder (JLO) character is a homomorphism from K-homology to entire cyclic cohomology. This paper extends the domain of the JLO character to include Type II noncommutative geometry, the geometry represented by unbounded $θ$-summable Breuer-Fredholm modules; and shows that the JLO character coincides with the Chern-Connes character as a class in entire cyclic cohomolgoy.

研究の動機と目的

• 型II非可換幾何学におけるJLO特性の定義域を拡張すること、ここで基礎となる代数は型IIフォン・ノイマン代数である。
• 型II設定における非有界フレドホルム・モジュールの一般化である非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールに対してJLO特性を定義すること。
• 整形式的コホモロジーにおけるJLO特性類が、この拡張された枠組みにおいてコンネス＝シュルン特性類と一致することを確立すること。
• アティヤ＝シンガーのインデックス定理およびJLO＝コンネス＝モスコビッチの同等性を、型II設定に一般化すること。
• 無限次元的非可換幾何構造において実数値をとるインデックスをとるブロイアー＝フレドホルムインデックスのコホモロジー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 論文は、C*-代数A上の非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールを定義し、型IIフォン・ノイマン代数Nに付随するディラック作用素Dを満たすもので、コンネスの非有界フレドホルム・モジュールと類似した公理を満たす。
• JLO特性は、Aの整形式的コホモロジーに基づき、Dの熱核トレースを用いて構成され、型Iの構成を型II設定に一般化する。
• 非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールの適切な変形の下で、JLO特性がホモトピー的不変性を示すことが示される。
• Dにおける関数計算を用いて、非有界および有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールの間の対応関係を確立し、標準的な非有界から有界への移行を拡張する。
• p-summableな非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールに対して、JLO特性が関連する有界モジュールのコンネス＝シュルン特性とコホモロジー的同値であることを証明する。
• 証明は、型IIフォン・ノイマン代数における一般化された特異数およびτ-可測作用素の理論に依拠し、トレース的イデアルL_N^pとτ-コンパクト性条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 JLO特性を、インデックスが整数ではなく実数をとる型Iから型II非可換幾何学へ拡張することは可能か？
• RQ2 型II設定における非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールのJLO特性が、整形式的コホモロジーにおいてコンネス＝シュルン特性と同じ類を定義するか？
• RQ3 特にディラック作用素の変形に対して、型II設定におけるJLO類のホモトピー不変性はどのように振る舞うか？
• RQ4 型II幾何学において、非有界から有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールに移行する際、JLO特性とコンネス＝シュルン特性の関係は何か？
• RQ5 整形式的コホモロジーおよびトレース的イデアルの標準的道具は、型IIフォン・ノイマン代数におけるτ-可測作用素の設定へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• JLO特性は、型II非可換幾何学における非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールに対して適切に定義されており、型Iの範囲を超えて拡張された。
• 関連する有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールのコンネス＝シュルン特性と同一の整形式的コホモロジー類をJLO特性が定義する。
• JLO特性は、非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールの連続的変形の下でホモトピー的不変性を示し、コホモロジー類を保存する。
• p-summableな非有界ブロイアー＝フレドホルム・モジュールに対して、JLO特性はコンネス＝シュルン特性とコホモロジー的同値である。これは、コンネス＝モスコビッチによる型Iの結果を一般化する。
• この構成は、τ-可測作用素および一般化された特異数の理論に依拠しており、型IIフォン・ノイマン代数のトレース構造と整合性を保つ。
• JLO特性によるコホモロジー的インデックスペアリングは、整数値インデックスをとる型I幾何学とは対照的に、実数値をとるブロイアー＝フレドホルムインデックスを再現する。