[論文レビュー] On uniformization of compact Kahler spaces

Robert Treger|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、軽微な特異点をもつコンパクトなカーラー空間に対して一様化定理を確立し、その普遍被覆がステインであり、一般化されたベルグマン計量を備えることを示している。大規模で、残余有限かつ非アメニタリな基本群をもつ場合、かつ有理的特異点をもつと仮定すると、普遍被覆は剛性を示し、位相的同値が正則同型を誘導する。これは、特異点をもつカーラー空間への一様化結果の拡張である。

ABSTRACT

The aim of the note is to extend the uniformization theorem to compact Kahler spaces X with mild singularities and establish a kind of rigidity of their universal coverings. We assume the fundamental group of X is large, residually finite and nonamenable.

研究の動機と目的

• 特異点のない複素射影多様体に対する一様化定理を、軽微な特異点をもつコンパクトなカーラー空間へ拡張すること。
• 正則な標準 bundle が非常に正である場合、そのような空間の普遍被覆がステインであることを確立すること。
• 位相的同値性のもとで普遍被覆の剛性を証明し、位相的データから正則構造が得られることを示すこと。
• 非アメニタリな基本群の存在下で、有界な調和関数および多重調和関数の一般化された使用法を一般化すること。
• 有理的特異点と大規模な基本群をもつコンパクトなカーラー空間が、モイシェゾンの定理により射影的であることを示すこと。

提案手法

• 無限次元のフビニ空間 $\mathbb{F}_{\mathbb{C}}(\infty,1)$ への正則埋め込みを用いた一般化されたベルグマン計量の使用。
• グローヴァートのコーディアの定理の拡張を応用し、$\eusm K_X^{-1}$ が弱く負のとき、正則な標準 bundle $\eusm K_X$ が非常に正であることを証明すること。
• 普遍被覆上の有界調和関数を用いて、$\Gamma$-不変なヘルメート計量を $\eusm K_X^{-1}$ 上に構成すること。
• 有限ガロア被覆の基本領域間の調和写像に対する変分的ディリクレ問題の適用。
• 有限ガロア被覆の基本領域上の調和写像から誘導される、普遍被覆間の多重調和写像の使用。
• ディリクレ問題の解の一意性を活用し、普遍被覆間の正則同型を結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点のない複素射影多様体に対する一様化結果は、有理的特異点をもつコンパクトなカーラー空間へ拡張可能か？
• RQ2 大規模で、残余有限かつ非アメニタリな基本群をもつコンパクトなカーラー空間の普遍被覆がステインである条件は何か？
• RQ3 軽微な特異点をもつコンパクトなカーラー空間間の位相的同値性が、それらの普遍被覆上に正則同型を誘導する程度は？
• RQ4 特異カーラー空間の普遍被覆上に一般化されたベルグマン計量をどのように構成できるか？
• RQ5 有界調和関数および多重調和写像は、普遍被覆の剛性を確立する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 有理的特異点と非常に正な正則標準 bundle をもつコンパクトなカーラー空間 $X$ の普遍被覆 $U_X$ はステインである。
• 与えられた仮定のもとで、$X$ はナミカワによるモイシェゾンの定理の一般化によりモイシェゾン空間であり、したがって射影的である。
• 普遍被覆 $U_X$ は、フビニ空間 $\mathbb{F}_{\mathbb{C}}(\infty,1)$ への埋め込みを通じて、一般化されたベルグマン計量を備える。
• 2つのこのような空間 $X$ と $Z$ 間の位相的同値性は、それらの普遍被覆 $U_X$ と $U_Z$ 間の正則同型を誘導し、剛性を証明する。
• 剛性は、有限ガロア被覆の基本領域間の調和および多重調和写像を用いて確立され、ディリクレ問題の解の一意性が正則同型を保証する。
• $\eusm K_X^q$ が十分大きな $q$ に対して有限ガロア被覆上で非常に正であることに基づき、$U_X$ 上に $\Gamma$-不変な一般化されたベルグマン計量が存在する。