[論文レビュー] On a conjecture of H. Wu

Robert Treger|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、H. Wuの予想を証明する。すなわち、基本群が再帰的に有限であるという仮定の下で、負の断面曲率をもつコンパクトなカーラー多様体の普遍被覆は、複素n次元空間ℂⁿ内の有界なドメインに正則同型である。カーラー幾何学、双曲的性、Moishezon理論の結果を用いて、このような多様体が射影的であることを確立し、[4]に掲載された定理を適用することで、普遍被覆が複素n次元空間内の有界なドメインであると結論づける。

ABSTRACT

Let X be a compact Kahler manifold with negative sectional curvature and residually finite fundamental group. Then its universal covering is a bounded domain in an affine space.

研究の動機と目的

• 負の断面曲率をもつコンパクトなカーラー多様体の普遍被覆に関するH. Wuの予想を解決すること。
• 普遍被覆がℂⁿ内の有界なドメインに正則同型である条件を特定すること。
• 負の曲率と再帰的に有限な基本群をもつコンパクトなカーラー多様体の射影的性を確立すること。
• 幾何的性質（曲率、双曲的性）と複素解析的・代数的性質（Stein、Moishezon、正の標準バンドルの全般性）の関係を結ぶこと。

提案手法

• 研究対象の多様体の普遍被覆に参考文献[4]の定理を適用する。
• Wuの結果を用いて、負の曲率をもつコンパクトなカーラー多様体の普遍被覆はSteinであることを示し、これにより基本群が大きいことを示す。
• BallmannとEberleinの結果を活用して、このような基本群が非可換であることを示す。
• Gromovの理論を用いて、多様体がカーラー双曲的であることを確立する。
• 標準バンドルが準全般的であることを示し、これにより多様体がMoishezonであることを示す。
• 負のリッチ曲率が標準バンドルの全般性を示すので、Kodairaの基準により射影的であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の断面曲率をもつコンパクトなカーラー多様体の普遍被覆がℂⁿ内の有界なドメインに正則同型である条件は何か？
• RQ2 基本群の再帰的有限性は、普遍被覆の幾何にどのように影響するか？
• RQ3 カーラー双曲的性と標準バンドルの全般性を用いて、この設定で射影的であることを導けるか？
• RQ4 普遍被覆のStein性と基本群の大きさの関係は何か？
• RQ5 曲率条件は、コンパクトなカーラー多様体の代数的構造にどのように影響するか？

主な発見

• 基本群が再帰的に有限であれば、負の断面曲率をもつコンパクトなカーラー多様体の普遍被覆はℂⁿ内の有界なドメインである。
• Gromovの理論により、多様体はカーラー双曲的である。
• 標準バンドルは準全般的であり、多様体はMoishezonである。
• 負のリッチ曲率により標準バンドルが全般的であることが示され、Kodairaの基準により多様体は射影的である。
• BallmannとEberleinの結果により、基本群は非可換である。
• 参考文献[4]の主要定理を射影的かつカーラー双曲的多様体に適用することで、結果が得られる。