[論文レビュー] On Uniqueness And Existence of Conformally Compact Einstein Metrics with Homogeneous Conformal Infinity. II

Gang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$B_{1} \subset \mathbb{R}^{4k+4}$ 上の非正曲率をもつ conformally compact Einstein (CCE) 計量が、$\mathbb{S}^{4k+3}$ 上に $\mathrm{Sp}(k+1)$-不変な共形無限大をもつことの存在および一意性を確立する。境界計量が球面計量に近いとき、このような計量は等長変換を除いて一意であることが証明される。主要な結果は、$\mathbb{S}^{15}$ 上の $\mathrm{Spin}(9)$-不変計量へと拡張され、事前推定と連続性法を用いて、曲率差の単調性を介して存在および一意性が確立される。

ABSTRACT

In this paper we show that for an $ ext{Sp}(k+1)$ invariant metric $\hat{g}$ on $\mathbb{S}^{4k+3}$ $(k\geq 1)$ close to the round metric, the conformally compact Einstein (CCE) manifold $(M, g)$ with $(\mathbb{S}^{4k+3}, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. Moreover, by the result in [LiQingShi], $g$ is the Graham-Lee metric on the unit ball $B_1\subset \mathbb{R}^{4k+4}$. We also give an a priori estimate on the Einstein metric $g$. Based on the estimate and Graham-Lee and Lee's seminal perturbation result, we use the continuity method directly to obtain an existence result of the non-positively curved CCE metric with prescribed conformal infinity $(\mathbb{S}^{4k+3}, [\hat{g}])$ when the metric $\hat{g}$ is $ ext{Sp}(k+1)$-invariant. We also generalize the results to the case of conformal infinity $(\mathbb{S}^{15},[\hat{g}])$ with $\hat{g}$ a Spin$(9)$-invariant metric in the appendix.

研究の動機と目的

• 非正曲率をもつ conformally compact Einstein (CCE) 計量が、$\mathbb{S}^{4k+3}$ 上に $\mathrm{Sp}(k+1)$-不変な共形無限大をもち、境界計量が球面計量に近い場合の、等長変換を除く一意性の確立。
• 非正曲率をもつ CCE 計量の存在および一意性結果を、$\mathbb{S}^{15}$ 上の $\mathrm{Spin}(9)$-不変ケースへと拡張すること。
• $B_1$ 上の Einstein 計量 $g$ に対して、境界値問題の構造を用いて事前推定を導出すること。
• 摂動論を用いて、連続性法を直接 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不変共形無限大に対して適用し、CCE 計量の存在を証明すること。

提案手法

• CCE 計量の存在問題を、$\mathrm{Sp}(k+1)$-対称なアンザッツから生じる $x \in [0,1]$ 上の常微分方程式の二点境界値問題として定式化する。
• 主な技術的革新：$y_i$ が単調でないにもかかわらず、$2 \leq i < j \leq 4$ に対して $y_i - y_j$ が単調であることを示し、解の一様有界性を導出する。
• Einstein 方程式と曲率推定を用いて、計量成分 $y_i(x)$ に対する事前推定を導出し、連続性法の適用を可能にする。
• Graham-Lee および Lee の重み付き Hölder 空間における摂動論を用いて、$\mathrm{Sp}(k+1)$-不変および $\mathrm{Spin}(9)$-不変ケースにおける連続性法の正当化を行う。
• 測地的定義関数と極座標を用いて、PDE 問題を測地線に沿う系に還元し、対称性と曲率制御を活用する。
• 事前推定と $\sup_M |W|_g$ の小ささ、および曲率差の単調性を組み合わせることで一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界計量が球面計量に近いとき、$B_1$ 上に $\mathrm{Sp}(k+1)$-不変な共形無限大をもつ conformally compact Einstein 計量は、等長変換を除いて一意か？
• RQ2 $\mathrm{Sp}(k+1)$-不変共形無限大に対して、連続性法を用いて非正曲率をもつ CCE 計量の存在が保証されるか？
• RQ3 $\lambda_1/\lambda_2$ が 1 に近いとき、$\mathbb{S}^{15}$ 上の $\mathrm{Spin}(9)$-不変計量に対して一意性結果は拡張可能か？
• RQ4 $\mathrm{Sp}(k+1)$-対称性と非正曲率の下で、Einstein 計量成分に対する事前推定はどのように導出可能か？
• RQ5 個々の $y_i$ が単調でない中で、曲率差 $y_i - y_j$ の振る舞いが、なぜ一様有界性の導出に寄与するのか？

主な発見

• $\mathbb{S}^{4k+3}$ 上の $\mathrm{Sp}(k+1)$-不変計量 $\hat{g}$ が球面計量に近いとき、$B_1$ 上の CCE 計量は等長変換を除いて一意であり、Graham-Lee 計量と一致する。
• 本稿では、$2 \leq i < j \leq 4$ に対して $y_i - y_j$ の単調性を活用することで、個々の $y_i$ が単調でないにもかかわらず、Einstein 計量 $g$ に対する事前推定を導出する。
• 連続性法と $\sup_M |W|_g$ の小ささを用いて、球面計量に近い近傍において、$\mathrm{Sp}(k+1)$-不変共形無限大をもつ非正曲率 CCE 計量の存在を証明する。
• $\mathbb{S}^{15}$ 上の $\mathrm{Spin}(9)$-不変計量で $\lambda_1/\lambda_2$ が 1 に近いとき、CCE 計量は等長変換を除いて一意であり、[17] の摂動計量と一致する。
• $\mathrm{Spin}(9)$-不変計量の存在結果は、$\lambda \in \left(\frac{-8+2\sqrt{19}}{3}, \frac{11}{3}\right)$ の区間で成り立ち、$\lambda_1$ に特異点（分岐点）が存在する可能性があり、この点で断面曲率が 0 または正になる可能性がある。
• 本稿は、$\lambda_1/\lambda_2$ が 1 に十分近いとき、CCE 計量が非正曲率であり、単連結であり、曲率が $-1$ に近いことを確認する。