[論文レビュー] On Universal Point Sets for Planar Graphs

Jean Cardinal, Michael M. Hoffmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平面的3木の組合せ的数え上げと直交交差数の上限を用いて、n ≥ 15 に対してサイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在しないことを証明している。さらに、計算機探索により、すべての n ≤ 10 に対してサイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在することを示している。また、35 頂点を持つ 7,393 個の非同時埋め込み可能な平面的グラフの集合を構成し、同時に幾何的埋め込みが可能な上限を新たに確立している。

ABSTRACT

A set P of points in R^2 is n-universal, if every planar graph on n vertices admits a plane straight-line embedding on P. Answering a question by Kobourov, we show that there is no n-universal point set of size n, for any n>=15. Conversely, we use a computer program to show that there exist universal point sets for all n<=10 and to enumerate all corresponding order types. Finally, we describe a collection G of 7'393 planar graphs on 35 vertices that do not admit a simultaneous geometric embedding without mapping, that is, no set of 35 points in the plane supports a plane straight-line embedding of all graphs in G.

研究の動機と目的

• 長年の未解決問題である、n ≥ 15 に対してサイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在するか否かを解明すること。
• サイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在する最大の n を特定すること。
• マッピングなしの同時幾何的埋め込みが可能な平面的グラフの数に対する新しい上界を確立すること。
• 小規模な n ≤ 10 に対して、すべての n-ユニバーサル点集合のサイズ n を計算機的に検証および列挙すること。

提案手法

• サイズ n の点集合に必要な下界を導出するため、ラベル付き平面的3木（積み上げ三角形分割）を組合せ的モデルとして活用した。
• 平面的3木における面分割に基づく数え上げスキームを適用し、n 頂点のラベル付きグラフに対して |T_n| = 2^{n-4} · (n-3)! が成り立つことを示した。
• 直交交差数の上限を用いて、必要な異なる点集合の数が n ≥ 15 のとき n を超えることを示した。
• 順序型データベースと plantri を用いた計算機プログラムを開発し、n ≤ 10 頂点のすべての最大平面的グラフがサイズ n の各点集合にユニバーサル埋め込み可能かどうかをテストした。
• 外部面と頂点マッピングに基づき、大きな平面的グラフの族を 231 クラスに分割し、面推移性と埋め込みの一意性を用いて各クラスの埋め込み可能グラフ数を 32 に上限づけた。
• 35 頂点を持つ 7,393 個の非同型平面的グラフの集合に対して、同時に埋め込みが可能でないことを証明した。各クラスに最大 32 個のグラフしか埋め込めないため、合計は 7,392 個に制限される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 15 に対して、サイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在するか？
• RQ2 サイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在する最大の n は何か？
• RQ3 n 頂点を持つ平面的グラフの任意の集合が、マッピングなしで同時に幾何的埋め込みが可能となる最大の σ は何か？
• RQ4 小規模な n ≤ 10 に対して、サイズ n の n-ユニバーサル点集合はいくつ存在するか？
• RQ5 n > 10 に対して、1 つのサイズ n の点集合が、n 頂点を持つすべての平面的グラフの平面直線埋め込みをサポートできるか？

主な発見

• n ≥ 15 に対してサイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在しないことが証明され、Kobourov の問いに否定的に答えた。
• n ≤ 10 に対してサイズ n の n-ユニバーサル点集合が存在することが、網羅的な計算機探索により確認された。
• n = 9 の場合、非同倣な n-ユニバーサル点集合が合計 5,955 個存在し、n = 10 の場合に 2,072 個存在する。
• 35 頂点を持つ 7,393 個の非同型平面的グラフの集合は、いかなるサイズ 35 の点集合に対しても同時に埋め込みが可能でないことが示され、σ < 7,393 であることを証明した。
• n = 9 のときの 5,955 個から n = 10 のときの 2,072 個への減少から、n-ユニバーサル点集合の数が n に対して単調でないことが明らかになった。
• 35 頂点を持つ平面的グラフのうち、マッピングなしで同時に埋め込み可能な最大数は 7,392 個以下であることが示され、タイトな上界が確立された。