[論文レビュー] On vector-valued twisted conjugate invariant functions on a group

Liang Xiao, Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、代数閉体 k 上の連結再帰的群 G におけるベクトル値 twisted 共役不変関数を研究し、良いフィルトレーション条件の下で、このような関数の空間が同型関数環の有限自由加群であることを確立する。主な結果は、J(V) と J(V*) 間の自然な双線形形式の行列式を、根の積として計算し、重みの多重度と特徴関数を含む形で与えるもので、Kostant の古典的結果を twisted 群の設定に拡張し、Satake 同型を介して Shimura 多様体への応用を含む。

ABSTRACT

We study the space of vector-valued (twisted) conjugate invariant functions on a connected reductive group.

研究の動機と目的

• 再帰的群上のベクトル値共役不変関数への Kostant の不変多項式に関する定理の一般化。
• 群の自己同型を用いた twisted 共役作用への理論の拡張。特に、mod p ファイバーにおける Shimura 多様体への応用を動機とする。
• 幾何学的および表現論的技法を用いて、重み多重度生成関数の多変数版の構成。
• J(V) と J(V*) 間の自然な双線形形式の行列式を、根データと重み多重度の観点から計算すること。

提案手法

• 旗多様体の幾何と幾何的 Satake 対応を用いて、表現にマルチフィルトレーションを導入する。
• フィルター付きベクトル空間に対して Rees の構成を適用し、関連する順次加群の平坦性と自由性を調べる。
• 自己同型 τ による G の作用を用いて、twisted 共役不変関数を定義し、標準的共役作用の一般化を行う。
• Vinberg のモノイドと漸近的円錐を用いて、群作用の退化を分析する。
• G-代数と重みの飽和部分集合の文脈において、良いフィルトレーションと不変量論の理論を活用する。
• Grosshans の部分群と不変量論の結果を応用し、不変環上のモジュールの有限生成性と自由性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 V が良いフィルトレーションを持つとき、V-値 twisted 共役不変関数のモジュールが同型関数環の有限自由加群となる条件は何か？
• RQ2 J(V) と J(V*) 間の自然な双線形形式の行列式は、根系と V の重み多重度にどのように依存するか？
• RQ3 幾何的または表現論的技法を用いて、重み空間に対して Kostant–Brylinski フィルトレーションの多変数版を構成可能か？
• RQ4 J(V) × J(V*) → J の双線形形式の行列式の正確な代数的表現は、根の特徴関数と重み多重度を用いてどのように与えられるか？
• RQ5 これらの結果は、対称対や量子群の状況にどのように拡張可能か？

主な発見

• V が良いフィルトレーションを持つ限り、V-値 twisted 共役不変関数の空間 J(V) は、J にたいして有限自由であり、ランクは V のゼロ重み空間の次元 dim V(0) に等しい。
• char k = 0 のとき、V(0) の基底から誘導される自然な基底 J(V)、J+(V)、J0(V) が存在し、Kostant の調和多項式基底を一般化する。
• 双線形形式 J(V) × J(V*) → J の行列式は、c · ∏_{α∈Φ(G,T)} (e_α − 1)^ζ_α で与えられ、c は非ゼロ定数であり、ζ_α = ∑_{n≥1} dim V(nα) である。
• J(V) が J 上で自由であることは、Chevalley 写像の平坦性から導かれる。これは主結果から示され、Richardson および Donkin の定理の新たな証明を提供する。
• 自己同型 τ による twisted 共役作用の状況にまで結果を拡張し、Satake 同型を介して、Shimura 多様体の mod p ファイバーにおける交差行列への応用が可能になる。
• 組成因子が飽和集合 π に属する部分モジュールの集合 O_π(M) は、不変環 C = AG にたいして有限生成であり、良いフィルトレーションと不変量論に関する既存の結果を一般化する。