[論文レビュー] On Verlinde-Like Formulas in c_{p,1} Logarithmic Conformal Field Theories

Michael Flohr, Holger Knuth|arXiv (Cornell University)|May 4, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、非半単純な表現カテゴリ（不分解表現を含む）を特徴とする $c_{p,1}$ 対数的 conformal field theory (LCFT) における融合則について、2つのヴェルラインド型公式の開発と比較を行う。Fuchs らの非半単純ヴェルラインド公式を不分解表現との融合を含める形に拡張し、モジュラー変換を用いた極限に基づくヴェルラインド手法と同等であることを示した。主な結果は、$\alpha \to 0$ の極限で特性関数に還元される $\alpha$-依存形を組み込んだ一般化された $S$-行列形式を用いて、すべての $p > 2$ に対して明示的な BPZ 型の融合則の式を得たことである。

ABSTRACT

Two different approaches to calculate the fusion rules of the c_{p,1} series of logarithmic conformal field theories are discussed. Both are based on the modular transformation properties of a basis of chiral vacuum torus amplitudes, which contains the characters of the irreducible representations. One of these is an extension, which we develop here for a non-semisimple generalisation of the Verlinde formula introduced by Fuchs et al., to include fusion products with indecomposable representations. The other uses the Verlinde formula in its usual form and gets the fusion coefficients in the limit, in which the basis of torus amplitudes degenerates to the linear dependent set of characters of irreducible and indecomposable representations. We discuss the effects, which this linear dependence has on any result for fusion rules, which are calculated from these character's modular transformation properties. We show that the two presented methods are equivalent. Furthermore we calculate explicit BPZ-like expressions for the resulting fusion rules for all p larger than 2.

研究の動機と目的

• $c_{p,1}$ LCFT における不分解表現との融合を含む一般化されたヴェルラインド公式を構築し、Fuchs らの非半単純ヴェルラインド手法を拡張すること。
• 一般化されたヴェルラインド公式と、$\alpha$-依存するトーラス振幅のモジュラー変換性を用いた極限に基づくアプローチとの間の同等性を確立すること。
• $p > 2$ のすべての $p$ に対して、BPZ 型の明示的表現を得ることで、既約表現および不分解表現の特性関数の線形従属性に起因する課題を解決すること。
• $\alpha \to 0$ の極限で標準的特性関数に還元される $\alpha$-変形された真空トーラス振幅を用いて、一般化された $S$-行列および融合代数を構築すること。

提案手法

• 不分解表現との融合を組み込むことで、Fuchs らの非半単純ヴェルラインド公式を拡張し、$S$-行列構造を一般化する行列 $C_{p,\text{gen}}(\alpha)$ を導入する。
• $\alpha \to 0$ の極限で不分解表現の特性関数に還元される $\alpha$-依存形を分配関数に導入し、モジュラー変換解析を可能にする。
• $S$-行列のブロック対角化法を用い、既約表現の極限において標準的ヴェルラインド公式と整合性を持つようにする。
• $p=2,3$ の既知の結果と一致するように、$C_p(\alpha)$ の逆行列をブロック構造を仮定して導出し、一般化された $C_p(\alpha)$ の予想的形を提示する。
• $S_2,\alpha$ および $U_2(\alpha)$ との行列の共役作用および可換関係を用い、変換 $A' = U_2^{-1}(\alpha) A U_2(\alpha)$ を通じて $C_{p,\text{gen}}(\alpha)$ の完全な構造を同定する。
• $p=2$ および $p=3$ に対して、得られた $S$-行列および融合則が既知の結果を再現することを検証し、任意の $p > 2$ に一般化できることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非半単純な LCFT（例：$c_{p,1}$ モデル）において、不分解表現との融合を含むヴェルラインド公式はどのように一般化できるか？
• RQ2 特性関数が線形従属である場合、$\alpha$-依存する真空トーラス振幅が、モジュラー不変な $S$-行列を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 2つのアプローチ（拡張されたヴェルラインド公式と極限に基づくヴェルラインド手法）は、$c_{p,1}$ LCFT において同等か？
• RQ4 本手法を用いて、すべての $p > 2$ に対して明示的な BPZ 型の融合則の式を導出できるか？
• RQ5 一般化された $S$-行列および融合代数の構造は、不分解表現の二重重複度および可約性をどのように反映しているか？

主な発見

• 拡張されたヴェルラインド公式（不分解表現との融合を含む）は、$\alpha$-変形されたトーラス振幅を用いた極限に基づくヴェルラインド手法と数学的に同等である。
• 一般化された $S$-行列は、$\alpha \to 0$ の極限で標準的 $S$-行列に還元される行列 $C_p(\alpha)$ を通じて構築され、$p=2$ および $p=3$ に対して逆行列 $C_p^{-1}(\alpha)$ が明示的に計算された。
• $p=2$ の場合、逆行列 $C_2^{-1}(\alpha)$ は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ に等しく、単純な構造により一般化が可能であることが判明した。
• $p=3$ の場合、$p=2$ の場合と同様のブロック構造を持つ逆行列 $C_3^{-1}(\alpha)$ が導出され、$C_3(\alpha)$ の完全な行列が構築され、$S$-行列および融合則と整合的であることが確認された。
• 本手法により、すべての $p > 2$ に対して明示的な BPZ 型の融合則の式が得られ、一般化された $C_p(\alpha)$ 行列は式 (3.30) で予想された形である。
• 本手法は、行列要素の $1/\alpha$-依存性および逆行列のブロック対角構造を通じて、不分解表現の二重重複度を正しく捉えている。