[論文レビュー] On viscosity solutions of path-dependent Hamilton--Jacobi--Bellman--Isaacs equations for fractional-order systems

M. I. Gomoyunov|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、α ∈ (0,1) の順序をもつCaputo微分型の分数マクロスケールの導関数に駆動される経路依存型ハミルトン・ジャコビ・ベルマン・イサース（HJBI）方程式に対して、粘性解の枠組みを確立する。α階数のci滑らか関数型のテスト汎関数と経路空間のコンパクトかつ不変な部分集合の概念を導入することで、2人零和微分ゲームの価値汎関数が一意な粘性解であることを証明し、非局所的ダイナミクスを有する分数マクロスケール系へ最小最大解理論を拡張する。

ABSTRACT

This paper deals with a two-person zero-sum differential game for a dynamical system described by a Caputo fractional differential equation of order $α\in (0, 1)$ and a Bolza cost functional. The differential game is associated to the Cauchy problem for the path-dependent Hamilton--Jacobi--Bellman--Isaacs equation with so-called fractional coinvariant derivatives of the order $α$ and the corresponding right-end boundary condition. A notion of a viscosity solution of the Cauchy problem is introduced, and the value functional of the differential game is characterized as a unique viscosity solution of this problem.

研究の動機と目的

• 古典的な滑らかさの仮定が成立しない、α ∈ (0,1) の順序をもつCaputo微分型の分数マクロスケール導関数を含む経路依存型HJBI方程式に対する一般化された解概念の開発。
• 非局所的かつ経路依存的なダイナミクスに適した粘性解アプローチを導入することで、最小最大解フレームワークを分数マクロスケール系へ拡張すること。
• 2人零和微分ゲームの価値汎関数が関連するHJBI方程式の一意な粘性解であると同定すること。
• 分数コインヴァリアント微分の構造を反映する、新たなテスト汎関数の構築を通じて、粘性解の一意性を確立すること。

提案手法

• 経路空間を覆うコンパクトかつ強い不変部分集合の列と、α階数のci滑らか関数型のテスト汎関数を用いた、粘性解の新しい定義を導入する。
• 粘性解の経路変数に関する局所リプシッツ連続性を仮定することで、ci微分の有界性を保証する。
• 先行研究[11, 定理2]における価値汎関数の最小最大解の特徴付けを適用し、[13, レマ1]を用いてリプシッツ条件の検証を行う。
• 分数コインヴァリアント微分の構造を反映するように設計された特別なテスト汎関数を構築し、比較原理を用いた一意性の証明を可能にする。
• ホルダーの不等式とベータ関数を含む積分推定を用いて、テスト汎関数のci微分の有界性を制御し、必要な正則性を保証する。
• [21, 定理2]の比較原理の技法を適応するが、分数微分の非局所性を考慮してテスト汎関数の構築方法を変更する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α ∈ (0,1) の順序をもつCaputo微分型の分数マクロスケール導関数を含む経路依存型HJBI方程式に対して、どのように粘性解の概念を定義できるか。
• RQ2 分数マクロスケールダイナミクスを有する2人零和微分ゲームの価値汎関数は、関連するHJBI方程式の一意な粘性解であるか。
• RQ3 非局所的かつ経路依存的な分数マクロスケールダイナミクスの下で、粘性解の一意性を確立できるか。
• RQ4 価値汎関数の局所リプシッツ連続性が、テスト汎関数のci微分の有界性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 一意性証明において、分数コインヴァリアント微分の構造を反映するようにテスト汎関数をどのように構築できるか。

主な発見

• 微分ゲームの価値汎関数は、α階数の分数コインヴァリアント微分を有する経路依存型HJBI方程式の一意な粘性解である。
• 価値汎関数は経路変数に関して必要な局所リプシッツ連続性を満たしており、これはテスト汎関数のci微分の有界性を保証するために不可欠である。
• 分数HJBI方程式の構造に適合した、α階数のci滑らか関数型のテスト汎関数の新たな構築法が開発され、一意性証明が可能となった。
• 比較原理を用いて粘性解の一意性が確立され、その鍵となるステップは、分数微分の非局所性を反映する適切なテスト汎関数の構築である。
• ベータ関数を含む積分推定とホルダーの不等式を用いて、ci微分の成長を制御し、比較議論に必要な有界性を保証する。
• 最小最大解フレームワークを、分数マクロスケール系に拡張するための粘性解の特徴付けを提供することで、非局所的状況における動的計画法の適用範囲を拡大した。