[論文レビュー] One Brownian Stochastic Flow

A. A. Dorogovtsev|ArXiv.org|Nov 24, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、滑らかで compact な台を持つカーネルを用いた相互作用ブラウン運動の流れによって生成される測度値過程の弱収束を研究する。$ε \to 0^+$ のとき、系は粒子が出会うまで独立ブラウン運動をし、その後凝集して一緒に移動する確率的流れに収束する。主な結果は、測度値過程が、凝集ブラウン運動によって特徴づけられる一意な極限過程に弱収束することである。

ABSTRACT

The weak limits of the measure-valued processes organized as a mass carried by the interacting Brownian particles are described. As a limiting flow the Arrattia flow is obtained.

研究の動機と目的

• 滑らかで局所的な相互作用カーネルを有する相互作用ブラウン粒子の流れによって誘導される測度値過程の弱収束を分析すること。
• 粒子の経路が非独立であるのにもかかわらず、$ε \to 0^+$ の極限で独立運動を示すものと期待されるという、表面的な矛盾を解消すること。
• 個々の粒子ではなく質量の流れに注目することで、凝集ブラウン運動の直感的考えを形式化すること。
• 連続測度値過程の空間における極限過程の弱コンパクト性と一意性を確立すること。

提案手法

• ウィーナーシートを駆動とするSDEにより、$x_\varepsilon(u,t)$ を確率的流れとして定義し、$\varphi_\varepsilon$ をモロウィングカーネルとする。
• 時間$t$における質量分布を表す測度値過程$\mu^\varepsilon_t = \mu_0 \circ x_\varepsilon(\cdot,t)^{-1}$ を構成する。
• $n$次のモーメントが有限である確率測度の空間$\mathfrak{M}_n$ 上で、弱収束をメトライズするための Wasserstein 型距離$\gamma_n$ を用いる。
• [4] に依拠した、テスト関数における一様等連続性とタイトネスに基づく、測度値過程の弱相対コンパクト性の基準を適用する。
• 極限過程が、粒子が出会うまで独立ブラウン運動をし、その後凝集して移動することを証明する。
• 有限次元分布の収束とドミネートドコンバージェンスを用いて、極限の一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子の相互作用が$\varphi_\varepsilon$ で滑らかにされたとき、$\varepsilon \to 0^+$ の下での測度値過程$\mu^\varepsilon_t$ の弱収束極限は何か？
• RQ2 非独立な粒子の経路と、$\varepsilon \to 0^+$ の極限で独立運動を示すものと期待されるという表面的な矛盾は、どのように解消できるか？
• RQ3 粒子の凝集と運動の観点から、極限の確率的流れの構造は何か？
• RQ4 家族$\{\mu^\varepsilon\}$ は、$\varepsilon \to 0^+$ の下で一意な弱収束極限を有するか？
• RQ5 極限過程は、凝集ブラウン運動という経路的性質によって特徴づけられるか？

主な発見

• 初期測度$\mu_0 \in \mathfrak{M}_n$ で$n > 2$ のとき、家族$\{\mu^\varepsilon\}$ は$C([0,1], \mathfrak{M}_n)$ において弱コンパクトであり、極限点の存在を保証する。
• 極限過程は、粒子が出会うまで独立ブラウン運動をし、その後一緒に移動するという性質によって一意に特徴づけられる。
• 任意の初期位置の有限集合$u_1 < \cdots < u_n$ に対して、極限における粒子経路の同時分布は、凝集ブラウン運動の分布と一致する。
• 極限測度値過程$\{\nu_t\}$ は、$\mathbb{E} \prod_{k=1}^d \int \varphi_k(u) \nu_{t_k}(du) = \int \cdots \int \lim_{n \to 0^+} \mathbb{E} \left[ \prod_{k=1}^d \varphi_k(x_{\varepsilon_n}(u_k, t_k)) \right] \mu_0(du_1) \cdots \mu_0(du_d)$ を満たし、極限の一意性を証明する。
• 極限分布は、集合$\mathcal{G} = \overline{\bigcup_{\delta>0} \mathcal{G}_\delta}$ の閉包に含まれる経路にのみ台を持つ。ここで$\mathcal{G}_\delta$ は、時刻1より前には衝突しない経路の集合である。
• 極限過程は、明確に定義された、一意の連続過程の確率的流れであり、凝集を伴うものであり、質量の流れと凝集のヒューリスティックな図像を裏付ける。