[論文レビュー] One distribution function on the Moran sets

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、制限されたs進表現を用いて定義される特定のクラスのモーラン集合の位相的・計量的・フラクタル的性質を調査し、これらの集合を実数区間に写像する新しい分布関数を導入する。主な貢献は、桁の確率に基づく重み付き収縮比を用いて、このような集合のハウスドルフ次元の正確な公式を導出することであり、自己相似カントール集合に対する古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

In the present article, topological, metric, and fractal properties of certain sets are investigated. These sets are images of sets whose elements have restrictions on using digits or combinations of digits in own s-adic representations, under the map $f$, that is a certain distribution function.

研究の動機と目的

• 制限されたs進桁列によって定義されるモーラン集合の位相的および計量的構造を分析すること。
• 特にそのハウスドルフ次元に注目した、このような集合のフラクタル幾何学を調査すること。
• 制限されたs進集合を実数区間に写像する新しい分布関数を導入し、その性質を特徴づけること。
• 非一様な桁確率を伴う場合に、自己相似集合の古典的次元公式を一般化すること。

提案手法

• 本稿は、桁 $u$ を避けて特定の桁の組み合わせのみを用いる s 進表現を持つ集合の族 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$ を定義する。
• 同分布の独立な桁 $\xi_k$ を持つ確率過程に基づく分布関数を導入し、確率 $p_i$ を持つ確率変数 $\eta$ を得る。この変数の累積分布関数は、s 進接頭辞に基づいて導出される。
• 各桁の組み合わせ $\tau_j$ に対して重み $\omega_j = \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)}$ を導入し、これによりその組み合わせによって定義されるシリンダー集合の測度を表す。
• ハウスドルフ次元は、方程式 $\sum_{j=1}^m \left( \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)} \right)^{\alpha_0} = 1$ を用いて計算され、これは確率的重みを用いたモーラン方程式の一般化である。
• 証明は、自己相似性と各成分の類似比 $\omega_j$ に依存しており、各スケーリングコピーが幾何学的に類似しており、比 $\omega_j$ で表される。この性質により、モーラン方程式を用いた次元計算が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s 進表現における桁の使用が制限され、非一様な確率を伴う場合、モーラン集合のハウスドルフ次元はどのように変化するか？
• RQ2 制限されたs進集合を実数区間に写像する分布関数の関数的形は何か？また、その関数は下位の桁確率とどのように関係するか？
• RQ3 収縮比が幾何的スケーリングではなく、桁の出現頻度に依存する場合に、ハウスドルフ次元の古典的モーラン方程式を一般化できるか？
• RQ4 集合 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$ が自己相似的かつ完全集合であるための条件は何か？また、そのような性質はフラクタル次元にどのように影響するか？
• RQ5 重み $\omega_j = \prod p_i^{N_i(\tau_j)}$ は、固定された桁の組み合わせ $\tau_j$ によって定義される集合の次元にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 集合 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$ は、完全集合であり、どこでも稠密でなく、非可算で、コンパクトであり、ゼロのルベーグ測度を持つ自己相似フラクタルである。
• 集合 $\mathbb{S}_{(P_s,u)}$ のハウスドルフ次元 $\alpha_0$ は、方程式 $\sum_{i \in A_0 \setminus \{u\}} (p_i p_u^{i-1})^{\alpha_0} = 1$ を満たす。ここで $p_i$ は桁 $i$ の確率、$p_u$ は桁 $u$ の確率である。
• 有限個の固定された桁の組み合わせ $\tau_1, \dots, \tau_m$ によって定義される集合 $E$ のハウスドルフ次元 $\alpha_0$ は、方程式 $\sum_{j=1}^m \left( \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)} \right)^{\alpha_0} = 1$ を満たす。ここで $N_i(\tau_j)$ は組み合わせ $\tau_j$ 内の桁 $i$ の出現回数を表す。
• ランク $n$ のシリンダー集合の直径は、$\prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_1 \dots \tau_n)}$ に比例し、確率的重みが近似区間のスケールにどのように影響するかを示している。
• 各成分 $[I_{\tau_j} \cap E]$ と全集合 $E$ 間の自己相似比は $\omega_j = \prod_{i=0}^{s-1} p_i^{N_i(\tau_j)}$ に等しく、次元計算に必要な幾何学的類似性が確認されている。
• 分布関数 $F(x)$ は、確率変数 $\eta = \sum_{k=1}^\infty \xi_k / s^k$ の累積分布関数として構成され、ここで $\xi_k$ は $P(\xi_k = i) = p_i$ を満たす独立同分布の確率変数である。$F(x)$ は $\eta$ の台上で連続的かつ厳密に増加する。