[論文レビュー] Online and Offline Greedy Algorithms for Routing with Switching Costs

Roy Schwartz, Mohit Singh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スイッチング遅延を伴う回路スイッチングスケジューリングに対して、(1−1/e−ϵ)-近似を得るハイブリッドなオフライン・グリーディおよび確率的ラウンディングアルゴリズムを提示する。また、オンライン版をオフライン問題に還元することで、O(δ/ϵ)の追加時間を持つ二基準 (e−1)/(2e−1)−ϵ 競合比を達成し、標準的な線形計画緩和における無限大の整数性ギャップを克服する。

ABSTRACT

Motivated by the use of high speed circuit switches in large scale data centers, we consider the problem of circuit switch scheduling. In this problem we are given demands between pairs of servers and the goal is to schedule at every time step a matching between the servers while maximizing the total satisfied demand over time. The crux of this scheduling problem is that once one shifts from one matching to a different one a fixed delay $δ$ is incurred during which no data can be transmitted. For the offline version of the problem we present a $(1-\frac{1}{e}-ε)$ approximation ratio (for any constant $ε>0$). Since the natural linear programming relaxation for the problem has an unbounded integrality gap, we adopt a hybrid approach that combines the combinatorial greedy with randomized rounding of a different suitable linear program. For the online version of the problem we present a (bi-criteria) $ ((e-1)/(2e-1)-ε)$-competitive ratio (for any constant $ε>0$ ) that exceeds time by an additive factor of $O(\fracδε)$. We note that no uni-criteria online algorithm is possible. Surprisingly, we obtain the result by reducing the online version to the offline one.

研究の動機と目的

• 高速データセンターネットワークにおける主要な課題である固定スイッチング遅延下での効率的なオフラインおよびオンラインの回路スイッチングスケジューリングアルゴリズムの設計。
• この問題における標準的線形計画緩和の無限大の整数性ギャップを克服すること。
• スイッチング遅延によって生じる複雑さにもかかわらず、オフラインおよびオンライン両バージョンに対して保証された近似比を提供すること。
• オンライン問題をオフライン問題に還元し、二基準競合アルゴリズムを可能とすること。
• すべての可能なマッチングと期間を含む、指数関数的サイズのグランドセットがあるにもかかわらず、ほぼ最適な近似比を達成すること。

提案手法

• 標準的緩和の無限大の整数性ギャップに対処するため、特別に設計された線形計画の組み合わせ的グリーディ選択と確率的ラウンディングを組み合わせたハイブリッドアルゴリズム。
• オフラインの場合、スイッチング遅延δと時間ウィンドウWの比に応じて、δ ≪ W の場合はグリーディ、それ以外の場合はラウンディングを適応的に使用。
• オンラインの場合、時間ホライズンをサイズkδのブロックに分割し、各ブロックの累積要件に対してオフラインソルバを実行。
• オンラインアルゴリズムは二基準保証を用い、最適値よりO(δ/ϵ)の追加時間を持つが、これはユニ・クリテリアのオンラインアルゴリズムが不可能であるため必要不可欠。
• ブロックごとの帰納的推論に依存し、近似比をバウンドする係数γを用いる。β（オフライン性能）とk（ブロックサイズ）のトレードオフにより最適化される。
• 主な技術的要素として、最初のブロックで送信されなかったデータを考慮した修正された最適スケジュールの構築があり、性能の帰納的バウンドを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的線形計画緩和において無限大の整数性ギャップがあるにもかかわらず、(1−1/e−ϵ)-近似をオフライン回路スイッチングスケジューリング問題に対して達成できるか？
• RQ2 スイッチング遅延を伴う回路スイッチングスケジューリングに対して、定数競合比を達成するオンラインアルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 オンライン問題をオフライン問題に還元しながら、ほぼ最適な近似比を維持できるか？
• RQ4 この設定で定数競合比を達成するためのオンラインアルゴリズムに必要な最小の時間オーバーヘッドは何か？
• RQ5 スイッチング遅延δが時間ウィンドウWに対して増加するにつれて、性能はどのように低下するか？

主な発見

• 本稿では、ハイブリッドなグリーディおよび確率的ラウンディング手法を用いて、オフライン回路スイッチングスケジューリング問題に対して(1−1/e−ϵ)-近似を達成した。
• オフラインアルゴリズムは、特殊な線形計画と組み合わせ的技術を用いることで、標準的線形計画緩和の無限大の整数性ギャップを克服した。
• オンライン版では、二基準 (e−1)/(2e−1)−ϵ 競合比が達成され、O(δ/ϵ)の加法的時間オーバーヘッドを伴う。
• オンラインからオフラインへの還元により、オンラインアルゴリズムはオフラインの近似保証を継承でき、時間拡張に起因する制御された損失を伴う。
• 分析により、競合比における係数γがγ = β / (1 + (1−2/k)β)として最適化されることを証明した。ここでβはオフライン近似要因である。
• 結果として、ユニ・クリテリアのオンラインアルゴリズムは存在しないことが示され、この設定において二基準近似の使用が正当化された。