[論文レビュー] OPE inversion in Mellin space

Carlos Cardona|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、シモン・カロン＝フワトのOPE逆転公式のメリン空間版を、メリン留数の直交性と多項式ブロックを用いて、メリン振幅の二重不連続性からOPE係数を再構成することで開発する。主な貢献は、メリン空間で直接コンフォアルブロック展開を逆転するフレームワークを提供することであり、交差比特異点の取り扱いや単項式依存性による計算の簡略化という利点を有する可能性を秘めている。

ABSTRACT

The fundamental ingredients that build the observables in conformal field theory are the spectrum of operators and the OPE coefficients, or equivalently, the two- and three-point functions of the theory. Recently an inversion formula solving the OPE coefficients by a convolution over the light-cone double-discontinuities of the correlator has been found by Simon Caron-Huot. Taking into account that the same OPE data determine the Mellin amplitude representation of the correlator, motivate us to look for an analogous inversion formula in Mellin space, which we develops partially on this paper.

研究の動機と目的

• カロン＝フワトの交差比公式に類似した、メリン空間におけるOPE係数の反転公式を開発すること。
• メリン留数と多項式ブロック（例：ほぼハンケル多項式）の直交性を活用して、OPEデータを再構成すること。
• 交差比と比較して、メリン空間が計算上の利点を提供するかどうかを検討し、交差比の単項式依存性によって不連続性計算を簡略化できるかを検討すること。
• 位置空間や交差比に依存しない、完全にメリン空間に依存するローレンツ型CFTの定式化が可能かどうかを調査すること。
• 元のフロイサール＝グリボール型公式との関係を分析することで、低スピンオペレーター（J=0,1）における反転公式の限界を理解すること。

提案手法

• メリン留数間の直交性関係を用いて、メリン空間におけるコンフォアルブロック展開を逆転する。
• コンフォアル次元とスピンに関連するポッヒハマー記号とパラメータを含む超幾何関数として、多項式メリンブロックを定義する。
• バーナーズ第一の補題を用いて、ガンマ関数と多項式ブロックを含む線形積分を評価する。
• 異なるブロックタイプ間での内積が消えることと、同じインデックスでの正規化を計算することで、メリンブロックの直交性を導出する。
• 交差比における二重不連続性を、メリン変数におけるゼロに翻訳し、二重トレース項の寄与をキャンセルする。
• 導出に用いられる多項式ブロックを一般化するマック多項式の直交性に関する予想に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OPE反転公式は、留数の直交性を用いて、完全にメリン空間で再定式化可能か？
• RQ2 計算効率と特異点処理の観点から、メリン空間反転公式は元の交差比公式と比べてどのように異なるか？
• RQ3 メリン空間における二重不連続性の役割は何か？ また、これは二重トレース寄与のキャンセルに対応するか？
• RQ4 元の公式における輪郭変形の制約を踏まえると、低ス pin オペレーター（J=0,1）に対しても、メリン空間反転公式は有効か？
• RQ5 位置空間や交差比に依存しない、完全にメリン空間に依存するローレンツ型CFTの定式化は可能か？

主な発見

• 超幾何関数によって定義されるメリンブロックは、線形積分の下で直交性を示し、ブロックインデックスが異なる場合には内積が消える。
• 同じインデックスのブロックの正規化定数は、Γ(β−1)/[κβΓ(β/2+1)] で与えられ、直交構造を確認する。
• 導出にはバーナーズ第一の補題とガウス超幾何級数の和公式を用い、線形積分の評価と直交性の証明がなされた。
• 交差比における二重不連続性は、メリン変数におけるゼロに翻訳され、二重トレース寄与が効果的に除去される。
• 単項式依存性により、交差比に依存する不連続性の計算がメリン空間で簡略化される可能性を示唆している。
• 反転公式は、元の公式が低スピン領域に制限を受けるのを踏まえ、高スピンオペレーターにのみ有効であると予想される。