[論文レビュー] D-independent representation of Conformal Field Theories in D dimensions via transformation to auxiliary Dual Resonance Models. Scalar amplitudes

G. Mack|ArXiv.org|Jul 14, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用数 139

ひとこと要約

本稿では、保存された運動量およびミンコフスキー不変量に関連する複素力学変数 δ_ij を用いて、D次元における conformal field theories (CFTs) の D に依存しない定式化を提示する。主な貢献は、正確な双対性と OPE 由来の因子分解を有する双対共鳴モデルによる CFT の普遍的表現であり、これはスカラー振幅の D に依存しない解析を可能にし、スピン依存の極 s_ij = d - l + 2n およびスピン l における多項式的残留部を明らかにする。

ABSTRACT

The Euklidean correlation functions and vacuum expectation values of products of field operators of some Lorentz spin and dimension are expressed through Mellin amplitudes which depend on complex dimensions subject to linear constraints. The constraints can be solved in terms of conserved momenta whose squares are given by the field dimensions, and related Mandelstam variables s. The Mellin amplitudes furnish a universal representation of conformal field theories without explicit reference to D. The costumary principles of quantum field theory plus conformal invariance and operator product expansions (OPE) say that the Mellin amplitudes are amplitudes of dual resonance models with exact duality and a form of factorization which follows from OPE. Fields in the OPE with spin l and dimension d produce simple poles in the scalar 4-point Mellin amplitude at s=d-l+2n, n=0,1,2,3... with polynomial residues. The leading pole determines the satellites n=1,2,3...

研究の動機と目的

• 時空次元 D に明示的依存しない conformal field theories の定式化を構築すること。
• スカラーおよびスピンを持つ場の n 点相関関数を、線形制約を満たす複素次元 δ_ij でパrameter化されたメリン振幅を通じて表現すること。
• CFT のメリン振幅が、正確な双対性および OPE 由来の因子分解を有する双対共鳴モデルの構造を自然に実現することを確立すること。
• CFT の OPE 構造が、s_ij = d - l + 2n におけるメリン振幅の単純極として現れ、スピン l における多項式的残留部を有することを示すこと。
• 補助的な双対共鳴モデルを用いて、次元の誘導およびホログラフィー的洞察を可能にする、異なる次元における CFT の解析のための普遍的枠組みを提供すること。

提案手法

• n 点のオイラー空間相関関数を、δ_ij に依存するメリン振幅 M_{k_n...k_1}(δ_ij) で表現する。ここで δ_ij は ∑_j δ_ij = d_i を満たす複素変数である。
• δ_ij 変数を p_i² = d_i を満たす保存運動量 p_i に写像し、Mandelstam 不変量 s_ij = (p_i + p_j)² を定義する。このとき δ_ij = -p_i p_j である。
• 演算子積展開 (OPE) を用いて、メリン振幅の因子分解特性を導出し、双対性および量子場理論の原則に整合することを保証する。
• CFT データの生成関数としてメリン振幅を構築し、スピン l および次元 d の場に対して s_ij = d - l + 2n で極を持つこととする。
• スピン l の微分作用素 D_l を用いて、共形3点関数を表現し、運動量空間におけるアンアンプチエートド OPE 係数の導出を可能にする。
• アンアンプチエートド OPE 係数 Q^u を、ベッセル関数および超幾何型微分作用素を含む u に関する積分を伴う、運動量 p の整関数として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D 次元における conformal field theories は、D に明示的依存しない形でどのように表現可能か？
• RQ2 CFT のメリン振幅の背後にある力学的構造は何か？また、それらは双対共鳴モデルとどのように関係するか？
• RQ3 CFT における演算子積展開 (OPE) は、メリン振幅形式主義においてどのように現れるか？
• RQ4 スピンを持つ演算子のメリン振幅における極の位置および残留部構造は、何によって決定されるか？
• RQ5 メリン振幅の枠組みは、普遍的双対共鳴モデル構造を通じて、異なる次元における CFT を統一的に扱えるか？

主な発見

• 4 点関数のメリン振幅 M_{k_4...k_1} は、スピン l および次元 d の場に対して、s_ij = d - l + 2n で単純極を示し、残留部は l についての次数 n の多項式である。
• 1 番目の極（n=0）の残留部が、すべてのサテライト極（n=1,2,3,...）を決定し、1 つの場の OPE 捐献を完全に符号化する。
• メリン振幅の枠組みは、OPE から導かれる正確な双対性および因子分解特性を実現しており、量子場理論および共形不変性と整合的である。
• アンアンプチエートド OPE 係数 Q^u は、運動量 p の整関数であり、微分作用素 D_l およびベッセル関数を含む u に関する積分を用いて表現される。
• メリン振幅は、すべての D 依存性が結合定数および正規化因子に符号化されているため、D に依存しない CFT の普遍的表現を提供する。
• この形式主義により、iε 設定を用いて、オイラー空間とミンコフスキー空間の相関関数の解析的接続が可能であり、スピン条件と整合的である。