[論文レビュー] OPE of Wilson-'t Hooft operators in N=4 and N=2 SYM with gauge group G=PSU(3)

Ruxandra Moraru, Natalia Saulina|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、${\mathcal{N}}=4$および${\mathcal{N}}=2$超ヤン・ミルズ理論におけるゲージ群$G=PSU(3)$に対する、最初の非自明なウィルソン-'t Hooft線型演算子のオペレーター積展開（OPE）を、ホロモルフィック・トポロジカルなねじれとBPS状態のモジュライ空間を用いて計算する。OPE構造は、コンパクトおよび非コンパクトなモジュライ空間上のベクトル束のホロモルフィック・オイラー指標を計算することで特定され、電磁気的表現への明示的分解が得られ、符号はコhomologicalデータから導出される。

ABSTRACT

We compute the simplest non-trivial Operator Product Expansion of Wilson-'t Hooft loop operators in N=4 and N=2 Super-Yang-Mills theory with gauge group G=PSU(3). This amounts to finding the Euler characters of certain vector bundles, describing electric degrees of freedom of loop operators entering the OPE, over moduli spaces of BPS states in the presence of loop operators.

研究の動機と目的

• ${\mathcal{N}}=4$および${\mathcal{N}}=2$SYMにおけるゲージ群$G=PSU(3)$に対する、最初の非自明なウィルソン-'t Hooft線型演算子のOPEを計算し、$G=SU(2)$の場合の先行結果を拡張すること。
• BPS状態のモジュライ空間上のベクトル束のホロモルフィック・オイラー指標を計算することで、OPEに寄与する電磁気的状態のスペクトルを特定すること。
• S-dualityおよび表現論、特にLanglands双対群${{}^{L}G}=SU(3)$の役割と整合性を確認すること。
• 非アーベルゲージ群を有する超対称ゲージ理論におけるOPEの計算のための幾何学的かつcohomologicalな枠組みを提供すること。

提案手法

• ${\mathcal{N}}=2$ゲージ理論のホロモルフィック・トポロジカルなねじれを用いて、問題をリーマン面上の超対称量子力学に還元する。
• コンパクトなモジュライ空間${\mathcal{M}}$上でホロモルフィック・オイラー指標$\mathbf{I}_{{\mathcal{N}}=4}\bigl{(}{\mathcal{M}},{\mathcal{V}}_{a,b}\bigr{)}$および$\mathbf{I}_{{\mathcal{N}}=2}\bigl{(}{\mathcal{M}},{\mathcal{V}}_{a,b}\bigr{)}$を計算し、量子力学の基底状態を符号化する。
• モジュライ空間の非コンパクトな「バルク」部$X$を、$\mathbf{I}_{{\mathcal{N}}=4}\bigl{(}X,{\mathcal{V}}^{bulk}_{a,b}\bigr{)}$および$\mathbf{I}_{{\mathcal{N}}=2}\bigl{(}X,{\mathcal{V}}^{bulk}_{a,b}\bigr{)}$を用いて分析し、特異空間上の$L^2$ドレームコhomologyを用いる。
• BPS配置と磁気的源を持つ3次元ボゴモルニ方程式の解との関係を用いて、モジュライ空間${\mathcal{M}}$および$X$を定義する。
• $L^2$ドレームコhomology技術を用いて、コホモロジー群$H^{j}_{\overline{D},L^2}(X, {\mathcal{O}}_X(n))$を計算し、平方可積分な調和形式が存在するかを確認することで物理的状態を特定する。
• 微分形式の明示的アンザッツを用い、ノルム収束を検証することで、特に$H^2_{\overline{D},L^2}(X, {\mathcal{O}}_X(-3))$および$H^2_{\overline{D},L^2}(X, {\mathcal{O}}_X(3))$における誤った状態を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathcal{N}}=4$SYMにおける$G=PSU(3)$の場合のウィルソン-'t Hooft線型演算子のOPE構造は何か？また、S-dualityはどのように反映されるか？
• RQ2 OPEにおける中間状態の電磁気的量子数は、BPSモジュライ空間の幾何からどのように生じるか？
• RQ3 コンパクトなモジュライ空間${\mathcal{M}}$とその非コンパクトな「バルク」部$X$は、OPE係数の計算において果たす役割は何か？
• RQ4 特定の既約表現が$L^2$コホモロジー群に現れないのはなぜか？また、物理的スペクトルにどのような影響を与えるか？
• RQ5 $L^2$ドレームコホモロジーを特異空間上で一貫して計算し、物理的状態を抽出するにはどうすればよいか？

主な発見

• 磁気的荷重$w_1$および電気的荷重$\nu = aw_1 + bw_2$（$a+2b \equiv 0 \mod 3$）を持つ2つのウィルソン-'t Hooフト線型演算子のOPEは、$WT_{w_1,\nu} \times WT_{w_1,0} = WT_{2w_1,\nu} + \sum_j (-)^{s_j} WT_{w_2,\nu_j}$と分解され、特定の$a,b$について$\nu_j$および符号$(-)^{s_j}$が明示的に決定される。
• $\mathbf{I}_{{\mathcal{N}}=4}\bigl{(}{\mathcal{M}},{\mathcal{V}}_{a,b}\bigr{)}$は$R^p\pi_*\Omega^q_{{\mathcal{M}}}$および$H^j({\mathcal{M}}, \Omega^p \otimes {\mathcal{V}})$を用いて計算され、期待される表現論的構造と一致する。
• $L^2$ドレームコホモロジー$H^2_{\overline{D},L^2}(X, {\mathcal{O}}_X(-3))$には$\mathbb{V}_{(0,0)}$表現が含まれず、$s \to 0$および$s \to \infty$の極限におけるノルムの発散行動によって確認される。
• 同様に、$H^2_{\overline{D},L^2}(X, {\mathcal{O}}_X(3))$には$\mathbb{V}_{(3,0)}$、$\mathbb{V}_{(1,1)}$、$\mathbb{V}_{(0,0)}$表現が存在せず、平方可積分な解が存在しないためである。
• $\mathbf{I}_{{\mathcal{N}}=4}\bigl{(}X, {\mathcal{V}}^{bulk}_{a,b}\bigr{)}$の計算は、$T\mathbb{P}^2$上の$L^2$コホモロジーに依存し、$m \geq 1$について$\Omega^j_X(3m)$の$L^2$コホモロジーの明示的公式が得られる。
• ノルム積分は極座標および標準的な三角関数積分を用いて評価され、$\int d\Phi / (a + b\cos\Phi)^n$および$T_v$上の半径積分の主要な公式が得られ、物理的状態の収束確認が保証される。