[論文レビュー] Holomorphic reduction of N=2 gauge theories, Wilson-'t Hooft operators, and S-duality

Anton Kapustin|ArXiv.org|Dec 12, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 89

ひとこと要約

この論文は、2つのリーマン面 C × Σ 上での N=2 ゲージ理論のホロモルフィック還元を導入し、Σ 上の非アーベルバーグ方程式のモジュライ空間を標的空間とする C 上のトポロジカル B-理論を得る。この理論において、ワイルソン-'t Hooftオペレーターはゲージカップリングに依存しない可換代数を形成することを確立し、非可換バーグ方程式のモジュライ空間の導来カテゴリへの S-duality 群作用を通じた N=2 版幾何学的ラングランズ双対性を提案する。

ABSTRACT

We study twisted N=2 superconformal gauge theory on a product of two Riemann surfaces Sigma and C. The twisted theory is topological along C and holomorphic along Sigma and does not depend on the gauge coupling or theta-angle. Upon Kaluza-Klein reduction along Sigma, it becomes equivalent to a topological B-model on C whose target is the moduli space MV of nonabelian vortex equations on Sigma. The N=2 S-duality conjecture implies that the duality group acts by autoequivalences on the derived category of MV. This statement can be regarded as an N=2 counterpart of the geometric Langlands duality. We show that the twisted theory admits Wilson-'t Hooft loop operators labelled by both electric and magnetic weights. Correlators of these loop operators depend holomorphically on coordinates and are independent of the gauge coupling. Thus the twisted theory provides a convenient framework for studying the Operator Product Expansion of general Wilson-'t Hooft loop operators.

研究の動機と目的

• N=4 から N=2 スーパーシンメトリー・ゲージ理論への幾何学的ラングランズ双対性の物理的導出を一般化すること。
• C × Σ 上でのねじれ N=2 理論を構成し、C でトポロジカルで、Σ でホロモルフィックであり、ゲージカップリングや θ-角に依存しないものとする。
• ワイルソン-'t Hooft ループオペレーターを、電気的および磁気的ウェイトでラベル付けし、それらの作用素積展開（OPE）を研究すること。
• 非可換バーグ方程式のモジュライ空間の導来カテゴリへの S-duality 群作用によって、幾何学的ラングランズ双対性の N=2 版を提案すること。
• 任意の電気的および磁気的電荷を持つ一般のワイルソン-'t Hooftオペレーターの正確な OPE 代数を計算する枠組みを構築すること、そのためにゲージカップリングに依存しないねじれを用いること。

提案手法

• C × Σ 上の N=2 スーパーローカルゲージ理論をねじり、C でトポロジカルで、Σ でホロモルフィックとなるようにし、ゲージカップリングや θ-角に依存しないようにする。
• C に沿ったカルツァ＝クライン還元を実行し、C 上の 2 次元トポロジカル B-理論を得る。標的空間は Σ 上の非可換バーグ方程式のモジュライ空間 M_V である。
• ワイルソン-'t Hooft オペレーターを、C 上のループ γ と Σ 上の点 p からなる BRST 不変なループオペレーター γ × p として特定し、余重格子と重格子のペア (μ, ν) を用いてラベル付けする。ただし、ワイル推移群による商をとる。
• 相関関数の Σ におけるホロモルフィック依存性を用いて、ゲージカップリングに依存しない正確なワイルソン-'t Hooft オペレーターの OPE 代数を計算する。
• S-duality 群が非可換バーグ方程式のモジュライ空間 M_V の導来カテゴリに自己同値作用として作用することを示し、幾何学的ラングランズ対応を N=2 理論へ一般化する。
• ゲージ不変多項式をヒッグス場に用いて、M_V に対するヒッチンのファイブレーションの類似を構成し、基底が次元 18(g−1) の錐であり、7(g−1) 個の制約を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=4 ねじれ理論における幾何学的ラングランズ双対性の導出を、N=2 ゲージ理論へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 電気的および磁気的電荷を含む一般のワイルソン-'t Hooftオペレーターの作用素積展開（OPE）代数の構造は何か？
• RQ3 C × Σ 上での N=2 理論のホロモルフィック-トポロジカルねじれが、ゲージカップリングに依存しない正確な OPE を計算する一貫した枠組みを提供できるか？
• RQ4 S-duality は N=2 理論における非可換バーグ方程式のモジュライ空間の導来カテゴリにどのように作用するか？
• RQ5 非可換バーグ方程式のモジュライ空間 M_V の幾何学的構造は何か？また、N=4 理論におけるヒッチンのモジュライ空間と比べてどう異なるか？

主な発見

• C × Σ 上のねじれ N=2 理論は C でトポロジカルで、Σ でホロモルフィックであり、その観測可能量はゲージカップリングや θ-角に依存しない。
• ワイルソン-'t Hooートループオペレーターは、余重格子と重格子のペア (μ, ν) を用いてラベル付けされ、その相関関数は Σ に対してホロモルフィックに依存する。
• ワイルソン-'t Hooft オペレーターの OPE 代数は可換であり、ゲージカップリングに依存せず、正確な半古典的計算が可能である。
• 純粋な電気的（ワイルソン）オペレーターに対しては、OPE 代数は G の非可約表現の結合代数と一致する。
• 随伴場の磁気的（'t Hooft）オペレーターに対しては、OPE 代数はラングランズ双対群 L G の非可約表現の結合代数と一致する。
• S-duality 群は非可換バーグ方程式のモジュライ空間 M_V の導来カテゴリに自己同値作用として作用し、幾何学的ラングランズ双対性の N=2 版を提供する。