[論文レビュー] Open-Closed String Topology via Fat Graphs

Antonio Ramirez|ArXiv.org|Jun 20, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、閉多様体の自由ループ空間およびオープンストリングパス空間のホモロジーに、ブレーンを介した境界条件を組み込んだ、オープンクローズドなファットグラフという新しい枠組みを用いて、オープンクローズドなトポロジカル量子場理論（TQFT）を構成する。CohenとGodinのストリングトポロジーTQFTを一般化し、ウムケル写像とファットグラフのノーマルフォームを用いてストリングトポロジー作用素の存在を証明する。

ABSTRACT

Given a smooth closed manifold M with a family {L_i} of closed submanifolds, we consider the free loop space LM and the spaces PM(L_i,L_j) of open strings (paths g:[0,1]->M with g(0) in L_i, and g(1) in L_j). We construct string topology operations resulting in an open-closed TQFT on the family (h_*(LM),h_*(PM(L_i,L_j)) which extends the known string topology TQFT on h_*(LM). Here, h_* is a multiplicative generalized homology theory supporting orientations for M and the L_i. To construct the operations, we introduce the notion of open-closed fat graph, generalizing fat graphs to the open-closed setting.

研究の動機と目的

• 自由ループ空間上のストリングトポロジーTQFTを、部分多様体（ブレーン）に端点が束縛されたオープンストリングを含めるように拡張すること。
• ループ空間およびオープンストリングパス空間のホモロジーに、一貫性のあるオープンクローズドTQFT構造を定義すること。
• ファットグラフをオープンクローズド設定に一般化し、ブレーンによってラベル付けされた境界成分を有する曲面を表す組合せ的モデルとして、オープンクローズドファットグラフを導入すること。
• 境界条件の下で、ポントリャーギン＝トムのコラプス（ウムケル写像）を用いてストリングトポロジー作用素の存在を確立すること。
• 得られた作用素がコボルディズムの貼り合わせと整合することを証明し、整合的なオープンクローズドTQFTを形成すること。

提案手法

• 境界成分がブレーンによってラベル付けされた、境界を持つ曲面を記述する追加構造を有する有限グラフとして、オープンクローズドファットグラフを導入する。
• 曲面とファットグラフのホモトピー同値性を用い、境界成分にラベルが付与されたファットグラフによって、オープンクローズドコボルディズムをモデル化する。
• 有限codimensionの包含写像に対して、Pontrjagin-Thom構成を適用し、ウムケル写像（i!）を定義することで、ストリングトポロジー作用素を定義する。
• ホモトピー型および境界構造を保存する展開／収縮の動きを用いて、任意のオープンクローズドファットグラフをノーマルフォームに還元するアルゴリズムを開発する。
• アクティブな辺と頂点に基づく再帰的還元プロセスを用い、最大のアクティブな部分木を収縮させ、ラベル付きの単一頂点とゴースト辺を管理する。
• 補題A.3を用いて、単一頂点および単一境界成分を持つファットグラフが、半辺の巡回順序に変換可能であることを示し、ノーマルフォームの構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリングトポロジーTQFTを、部分多様体（ブレーン）に端点が束縛されたオープンストリングを含むようにどのように拡張できるか？
• RQ2 境界成分がラベル付けされたオープンクローズドコボルディズムをモデル化するための、ファットグラフの一般化としての組合せ的構造は何か？
• RQ3 境界を持つ曲面のモジュライ空間へのオープンストリングパス空間の包含写像に対して、どのようにウムケル写像を構成できるか？
• RQ4 オープンクローズドファットグラフのノーマルフォームとは何か？ そして、グラフの操作によってどのように達成できるか？
• RQ5 ホモロジー上の得られた作用素が、コボルディズムの貼り合わせと整合するとはどういう意味か？ そして、それがオープンクローズドTQFTの公理を満たすとは？

主な発見

• 本稿は、$ h_*(LM) $ および $ h_*(P_M(L_i, L_j)) $ のホモロジー群の族に、整合的なオープンクローズドTQFTを構成し、既知のストリングトポロジーTQFTを拡張する。
• ストリングトポロジー作用素の存在は、オープンクローズド設定における包含写像の有限codimension性に依拠し、ポントリャーギン＝トムのコラプスによって確立される。
• オープンクローズドファットグラフの枠組みは、オープンクローズドコボルディズムを表す組合せ的モデルを提供し、閉じたストリングトポロジーで用いられるファットグラフモデルを一般化する。
• 展開および収縮の動きの系列を用いて、オープンクローズドファットグラフのノーマルフォームが達成され、一意性と計算可能性が保証される。
• この構成はコボルディズムの貼り合わせと整合するため、作用素がトポロジカル量子場理論の公理を満たすことが確認される。
• 本稿は、すべてのオープンクローズドファットグラフが、ラベル付きの単一頂点と連続する歯状の辺を有するグラフ操作によりノーマルフォームに還元可能であることを証明する。