[論文レビュー] Open Graphs and Monoidal Theories

Lucas Dixon, Aleks Kissinger|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、モノイダル圏におけるストリング図を離散的で有限な形式的体系として定式化するためのオープングラフを導入する。入力と出力を表す未接続エッジを備えたタイプ付きグラフを用いる。オープングラフを、選択的アーディティブ関手によるタイプ付きグラフへの埋め込みによって、型安全で構成的な二重プッシュアウト置換を可能にする。これにより、対称モノイダル圏、プロップス、一般のモノイダル理論における機械化された推論が可能となる。

ABSTRACT

String diagrams are a powerful tool for reasoning about physical processes, logic circuits, tensor networks, and many other compositional structures. The distinguishing feature of these diagrams is that edges need not be connected to vertices at both ends, and these unconnected ends can be interpreted as the inputs and outputs of a diagram. In this paper, we give a concrete construction for string diagrams using a special kind of typed graph called an open-graph. While the category of open-graphs is not itself adhesive, we introduce the notion of a selective adhesive functor, and show that such a functor embeds the category of open-graphs into the ambient adhesive category of typed graphs. Using this functor, the category of open-graphs inherits "enough adhesivity" from the category of typed graphs to perform double-pushout (DPO) graph rewriting. A salient feature of our theory is that it ensures rewrite systems are "type-safe" in the sense that rewriting respects the inputs and outputs. This formalism lets us safely encode the interesting structure of a computational model, such as evaluation dynamics, with succinct, explicit rewrite rules, while the graphical representation absorbs many of the tedious details. Although topological formalisms exist for string diagrams, our construction is discreet, finitary, and enjoys decidable algorithms for composition and rewriting. We also show how open-graphs can be parametrised by graphical signatures, similar to the monoidal signatures of Joyal and Street, which define types for vertices in the diagrammatic language and constraints on how they can be connected. Using typed open-graphs, we can construct free symmetric monoidal categories, PROPs, and more general monoidal theories. Thus open-graphs give us a handle for mechanised reasoning in monoidal categories.

研究の動機と目的

• モノイダル理論におけるストリング図の離散的で有限的かつ計算可能な形式的体系を提供すること。
• トポロジカル形式的体系の限界を克服し、図的推論のための有限的で決定可能であるフレームワークを導入すること。
• 選択的アーディティブ関手によって入出力インターフェースを保持することで、置換における型安全性を保証すること。
• 二重プッシュアウト置換をオープングラフに適用することで、モノイダル圏における機械化された推論を可能にすること。
• 図的シグネチャを用いて、自由な対称モノイダル圏、プロップス、およびより広範なモノイダル理論へと構成を一般化すること。

提案手法

• 入力と出力を表す未接続エッジを備えたタイプ付きグラフとしてオープングラフを導入する。
• オープングラフからタイプ付きグラフの圏への選択的アーディティブ関手を定義し、二重プッシュアウト置換に十分なアーディティブ性を継承する。
• 図的シグネチャを用いて頂点およびエッジの型と接続制約を定義し、型付きの合成を可能にする。
• タイプ付きオープングラフ上のコスパンをエッジホメオモルフィズムに関して同一視することで、自由な対称モノイダル圏を構成する。
• 型安全性とルールの構成的置換を保証するために、二重プッシュアウト置換を適用する。
• ワイヤー構造の位相的同値性をモデル化するためのエッジホメオモルフィズムルールを導入する。これは位相空間におけるホメオモルフィズムに類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリング図を、安全で構成的な置換を可能にする離散的で有限な構造としてどのように形式化できるか？
• RQ2 完全なアーディティブ性を欠くにもかかわらず、オープングラフにおける二重プッシュアウト置換を可能にするカテゴリー的構造は何か？
• RQ3 図的シグネチャをどのように用いてオープングラフをパラメータ化し、モノイダル理論における型制約を強制できるか？
• RQ4 オープングラフを用いて、自由な対称モノイダル圏やプロップスを完全に機械化可能な方法で構成できるか？
• RQ5 インターフェースの一貫性を保ちながら、置換ルールをどのように合成・操作できるか？

主な発見

• オープングラフは、タイプ付きグラフへの選択的アーディティブ関手を備えた圏として形式化され、型安全性を保証する二重プッシュアウト置換を可能にする。
• 構成的置換がサポートされる：分解された部品に対して並列に置換を行い、正しく再結合できる。
• エッジホメオモルフィズムルールにより、ワイヤー構造の位相的同値性が可能となり、トポロジーにおけるホメオモルフィズムの離散的アナロジーを提供する。
• 図的シグネチャに基づく型付きオープングラフは、自由な対称モノイダル圏やプロップスを生成可能であり、より豊かなモノイダル理論へと一般化可能である。
• このフレームワークは有限的かつ決定可能であり、ソフトウェアツールによる自動推論の実装を可能にする。
• 本手法は、モノイダル圏におけるグラフィカル言語にKnuth-Bendix完成法と臨界対解析を適用する基盤を提供する。