[論文レビュー] The compositional structure of multipartite quantum entanglement

Bob Coecke, Aleks Kissinger|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、GHZ状態とW状態を基本的構成要素として用いる、多粒子量子もつれの構成的グラフィカル計算体系を提案する。これらの状態が可換Frobenius代数を誘導することを示し、GHZ状態は特別な（special）、W状態は反特別な（anti-special）Frobenius代数を誘導する。これにより、グラフ書き換えとSLOCC分類を用いて、任意の多粒子状態を完全かつ代数的に構造化された形で表現可能となる。

ABSTRACT

While multipartite quantum states constitute a (if not the) key resource for quantum computations and protocols, obtaining a high-level, structural understanding of entanglement involving arbitrarily many qubits is a long-standing open problem in quantum computer science. In this paper we expose the algebraic and graphical structure of the GHZ-state and the W-state, as well as a purely graphical distinction that characterises the behaviours of these states. In turn, this structure yields a compositional graphical model for expressing general multipartite states. We identify those states, named Frobenius states, which canonically induce an algebraic structure, namely the structure of a commutative Frobenius algebra (CFA). We show that all SLOCC-maximal tripartite qubit states are locally equivalent to Frobenius states. Those that are SLOCC-equivalent to the GHZ-state induce special commutative Frobenius algebras, while those that are SLOCC-equivalent to the W-state induce what we call anti-special commutative Frobenius algebras. From the SLOCC-classification of tripartite qubit states follows a representation theorem for two dimensional CFAs. Together, a GHZ and a W Frobenius state form the primitives of a graphical calculus. This calculus is expressive enough to generate and reason about arbitrary multipartite states, which are obtained by "composing" the GHZ- and W-states, giving rise to a rich graphical paradigm for general multipartite entanglement.

研究の動機と目的

• 任意の数のキュービットを含む多粒子量子もつれの高水準で構造的な理解を提供すること。
• 三粒子もつれの根本的に異なるクラスを表すGHZ状態とW状態の間の代数的およびグラフィカルな違いを特定すること。
• GHZ状態とW状態の合成を用いて、任意の多粒子量子状態を生成・推論可能な構成的グラフィカルモデルを構築すること。
• SLOCC最大の三粒子キュービット状態とFrobenius状態の間の対応関係を確立し、それらが誘導する代数的構造を特徴づけること。
• 多粒子もつれのための普遍的グラフィカル計算体系の基盤を築くこと。応用分野には量子計算およびプロトコル設計が含まれる。

提案手法

• Frobenius状態を、自然に可換Frobenius代数（CFA）を誘導する三粒子量子状態として導入する。
• CFAのランク（特にµ ◦ δのランク）に基づき、GHZ状態が特別なCFAを誘導し、W状態が反特別なCFAを誘導することを特徴づける。
• 三粒子キュービット状態のSLOCC分類を用いて、二次元CFAの表現定理を証明する。
• GHZ状態とW状態を基本的要素として用いるグラフィカル計算体系を構築し、合成は系のテンソル積と接続を表す。
• CFAsの対称性を活用して、グラフ書き換え規則を用いて複雑な多粒子状態を操作・推論する。
• 特別なCFA（GHZ）と反特別なCFA（W）の組み合わせに加え、単一キュービット状態を組み合わせることで、グラフィカル計算体系における計算的普遍性を実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多粒子もつれにおけるGHZ状態とW状態の根本的差異を規定する代数的およびグラフィカルな構造は何か？
• RQ2 すべてのSLOCC最大の三粒子キュービット状態はFrobenius状態として特徴づけられるか？ もしそうならば、それらが誘導するCFAの種類は何か？
• RQ3 任意の多粒子もつれ状態を生成・推論可能な構成的グラフィカル計算体系をどのように構築できるか？
• RQ4 GHZ/W計算体系における二つのグラフィカル表現が同じ量子状態を表すために必要な十分条件は何か？
• RQ5 この枠組みをクーディットに拡張可能か？ また、高次元系におけるµ ◦ δの途中ランクはどのような役割を果たすか？

主な発見

• すべてのSLOCC最大の三粒子キュービット状態は局所的にFrobenius状態に等価であり、GHZ型状態は特別なCFAを、W型状態は反特別なCFAを誘導する。
• 三粒子キュービット状態のSLOCC分類から、二次元CFAの表現定理が導かれ、完全な対応関係が確立される。
• GHZ状態とW状態は、任意の多粒子状態を合成によって生成可能な、グラフィカル計算体系における標準的基底要素として機能する。
• 単一キュービット状態と組み合わせることで、グラフィカル計算体系は計算的普遍性を達成し、量子マルチプレクサなどの複雑な量子プロトコルの構築が可能になる。
• この枠組みにより、2×2行列と特別または反特別なCFA構造を表すノードを含む、行列積状態（MPS）の新しいグラフィカル分解が可能になる。
• 結果から、特に2次元MPS鎖において、多数体系の期待値がグラフィカル技法を用いて効率的に計算可能であることが示唆される。