[論文レビュー] Open Problems and Conjectures related to the Theory of Mathematical Quasicrystals

Faustin Adiceam|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、数学的准結晶理論における未解決問題と予想を体系的にまとめており、シュレーディンガー作用素のスペクトル性質、タイリングにおける回折パターン、カットアンドプロジェクト集合の双リプシッツ同値性、およびR^dの閉部分集合上での力学系に焦点を当てている。主な予想として、パターン・ステルミアン系列のスペクトル性質や、准結晶が格子と双リプシッツ同値であるかどうかを提示し、准結晶研究における力学的、スペクトル的、幾何的視点の統合を目指している。

ABSTRACT

This list of problems arose as a collaborative effort among the participants of the Arbeitsgemeinschaft on Mathematical Quasicrystals, which was held at the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach in October 2015. The purpose of our meeting was to bring together researchers from a variety of disciplines with a common goal of understanding different viewpoints and approaches surrounding the theory of mathematical quasicrystals. The problems reflect this goal and this diversity and we hope that they will motivate further cross-disciplinary research and lead to new advances in our overall vision of this rapidly developing field.

研究の動機と目的

• 数学的准結晶理論における未解決問題を体系的にまとめ、広く共有することで、異分野間の研究を促進すること。
• パターン・ステルミアン系列に関連するシュレーディンガー作用素のスペクトル性質を調査し、既知のステルミアン系列の結果を拡張すること。
• 窓と部分空間にディオファントス的および幾何的条件が満たされる場合、カットアンドプロジェクト集合が常に格子と双リプシッツ同値であるかどうかを特定すること。
• R^dの閉部分集合の空間におけるSL_d(R)およびASL_d(R)の作用による不変測度を特徴付けること。
• 非周期的タイリングにおけるタイリングの複雑性、コホロジーおよび幾何的構造の関係を調査すること。

提案手法

• オーバーフォルハッハ研究所での共同問題討議会を通じて未解決問題を提示し、力学系、スペクトル理論、准結晶幾何学の分野の第一線の専門家からの貢献を活用する。
• 複雑性関数p(n)およびp*(n)を含む記号的力学系の概念を用い、系列の組合せ的構造による分類を実施する。
• カットアンドプロジェクト構成を用いて、高次元格子と窓からデローネ集合を生成し、それらの幾何的同値性を格子と分析する。
• エルゴディック理論および均質的力学の道具を適用し、特にSL_d(R)およびASL_d(R)がR^dの閉部分集合の空間に作用する場合を扱う。
• 位相的および測度論的手法を用いて、チャバウティ–フェルト位相における不変測度および最小集合を研究する。
• 非周期的順序の既知の結果に依拠する。これにはデローネ集合の理論、MLD同値性、有界移動同値性が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのパターン・ステルミアン系列（p*(n) = 2n）は、零測度のカントール集合スペクトルおよび特異連続スペクトル測度を有するシュレーディンガー作用素に関連しているか？
• RQ2 境界の上部ミンコフスキー次元がk−d未満で、内部が空でない有界窓と、ディオファントス的条件を満たす完全に無理数部分空間を持つカットアンドプロジェクト集合は、常に格子と双リプシッツ同値か？
• RQ3 R^dの閉部分集合の空間におけるSL_d(R)不変Borel確率測度はすべて何か？それらは准結晶の力学にどのように関係するか？
• RQ4 格子と有界移動同値でないすべてのデローネ集合が、依然として格子と双リプシッツ同値であるか？
• RQ5 タイリングの複雑性とそのコホモロジー不変量の正確な関係は何か？特に非周期的で非周期的タイリングにおいて。

主な発見

• ステルミアン系列に関連するシュレーディンガー作用素のスペクトルは、零レベーグ測度のカントール集合であり、すべてのスペクトル測度は特異連続的である。
• パターン・ステルミアン系列（p*(n) = 2n）は、ステルミアン系列よりも厳密に大きなクラスであり、その関連するシュレーディンガー作用素が同じスペクトル的性質を有するという予想がなされている。
• ディオファントス的部分空間と、境界の上部ミンコフスキー次元がk−d未満の窓を持つカットアンドプロジェクト集合は、常に格子と双リプシッツ同値である。
• k=3、d=2、および1次元窓の場合、部分空間にやや弱いディオファントス条件が満たされれば、カットアンドプロジェクト集合は格子と双リプシッツ同値である。
• 窓が有界であるが、境界の測度が無視可能でない場合、格子と双リプシッツ同値でないカットアンドプロジェクト集合が存在する。
• R^dの閉部分集合の空間におけるASL_d(R)-最小集合は、固定点∅およびR^dのみであり、これは測度問題の位相的類似として確立された。