[論文レビュー] Operads with general groups of equivariance, and some 2-categorical aspects of operads in Cat

Alexander S. Corner, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、任意の余単位的モノイダル圏（余極限を備える）において、一般の群を用いた等化対称性を持つG-Operadsを導入する。これは、対称的、ブレッド、非対称的Operadsを一般化する。CatにおけるOperadsが有限的であることを確立し、ほぼ自由な群作用を用いてCartesian Operadsを特徴づけ、また、厳密モノイダル圏のためのブレッド型Operadが、正と負の最小ブレッドを用いて、非対称的であるが2つの異なる擬似可換構造を備えていることを示す。

ABSTRACT

We give a definition of an operad with general groups of equivariance suitable for use in any symmetric monoidal category with appropriate colimits. We then apply this notion to study the 2-category of algebras over an operad in Cat. We show that any operad is finitary, that an operad is cartesian if and only if the group actions are nearly free (in a precise fashion), and that the existence of a pseudo-commutative structure largely depends on the groups of equivariance. We conclude by showing that the operad for strict braided monoidal categories has two canonical pseudo-commutative structures.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル圏において、任意の群を用いた等化対称性を持つOperadsの一般枠組みを構築すること。
• 特に、それらが誘導する2-モノイドの2-圏的構造を研究すること。
• 群作用の性質を用いて、CatにおけるOperadがCartesianである条件を特徴づけること。
• CatにおけるOperadに擬似可換構造が存在するか、その性質を調査すること。
• ブレッド型厳密モノイダル圏のためのOperadが2つの標準的で非対称的な擬似可換構造を備えていることを示すこと。

提案手法

• G(n)がP(n)に作用する作用Operads G = {G(n)}を用いて、G-Operadsを定義し、対称的およびブレッド型Operadsを一般化する。
• Dayの畳み込みとコ端計算を用いて、関手圏におけるモノイドとしてG-Operadsを形式化する。
• その背後にある2-モノイド構造を分析することにより、CatにおけるすべてのOperadが有限的であることを証明する。
• 群論的および圏論的議論を用いて、OperadがCartesianであることと、その群作用がほぼ自由であること（G(n)作用における安定化部分群が自明またはほぼ自明であること）が同値であることを確立する。
• ブレッド群における正と負の最小ブレッドを用いて、ブレッド型Operad Bに2つの擬似可換構造を構成する。
• Br_Nにおけるブレッド合成の最小性と正性を用いて、擬似可換性の公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CatにおけるOperadがCartesianである条件は何か？ これはその群作用の構造とどのように関係するか？
• RQ2 CatにおけるOperadが擬似可換構造を備える条件は何か？ これは等化対称性群の選択にどのように依存するか？
• RQ3 ブレッド型厳密モノイダル圏のためのOperadは、1つより多くの擬似可換構造を備えられるか？ それらは対称的であるか？
• RQ4 CatにおけるOperadの2-圏的性質は、1-圏的対応物とどのように異なるか？
• RQ5 ブレッド群の文脈において、最小性と正性が擬似可換性の公理の検証に果たす役割は何か？

主な発見

• CatにおけるすべてのOperadは有限的であり、これはその背後にある2-モノイドがフィルター付き余極限を保存することを意味する。
• CatにおけるOperadがCartesianであることと、その群作用がほぼ自由であること（G(n)作用におけるP(n)の各点の安定化部分群が自明またはほぼ自明であること）が同値である。
• CatにおけるOperadが擬似可換構造を備えることは、特にブレッド群の場合に、等化対称性群の選択に強く依存する。
• ブレッド型厳密モノイダル圏のためのOperadは、正の最小ブレッドを用いたものと負の最小ブレッドを用いたものの2つの標準的擬似可換構造を備えている。
• これらの擬似可換構造のいずれに対しても、t_{2,2} = σ₂ がBr₄において2より大きい位数を持つことから、非対称的であることが示されている。
• 証明に用いられるブレッド合成は最小かつ正であるため、ブレッド群内で等号が成立し、これが擬似可換性の公理の正当性を確認する。