[論文レビュー] Operads as polynomial 2-monads

Mark Weber|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 31被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、任意のオペラッドから多項式2モノイドを構成する新しい方法を提示する。この2モノイドの代数は、厳密な代数ではなく、カテゴリフィケーションされたオペラッドの代数に対応する。標準的なモノイド構成とは異なり、Σ-自由性を仮定しなくても機能し、オペラッド、Cat-オペラッド、クラブを多項式2モノイドを通じて一元化する自然な枠組みを確立する。オペラッドがΣ-自由である場合、新しい2モノイドと標準的2モノイドの厳密代数の間にはQuillen同値性が成立する。

ABSTRACT

In this article we give a construction of a polynomial 2-monad from an operad and describe the algebras of the 2-monads which then arise. This construction is different from the standard construction of a monad from an operad in that the algebras of our associated 2-monad are the categorified algebras of the original operad. Moreover it enables us to characterise operads as categorical polynomial monads in a canonical way. This point of view reveals categorical polynomial monads as a unifying environment for operads, Cat-operads and clubs. We recover the standard construction of a monad from an operad in a 2-categorical way from our associated 2-monad as a coidentifier of 2-monads, and understand the algebras of both as weak morphisms of operads into a Cat-operad of categories. Algebras of operads within general symmetric monoidal categories arise from our new associated 2-monad in a canonical way. When the operad is sigma-free, we establish a Quillen equivalence, with respect to the model structures on algebras of 2-monads found by Lack, between the strict algebras of our associated 2-monad, and those of the standard one.

研究の動機と目的

• 任意のオペラッドから、Σ-自由性に依存しない多項式2モノイドを構成すること。
• この2モノイドの代数を、元のオペラッドのカテゴリフィケーションされた代数として特徴づけること。
• オペラッド、Cat-オペラッド、クラブを、カテゴリカルな多項式モノイドの枠組み内で統一すること。
• 2圏的coidentificationを用いて、新しい2モノイドから標準的2モノイドの構成を回復すること。
• オペラッドがΣ-自由である場合、新しい2モノイドの厳密代数と標準的2モノイドの厳密代数の間のQuillen同値性を確立すること。

提案手法

• Cat/I 上の多項式2モノイドを、2圏的普遍性を用いてオペラッド T から構成する。多項式関手を Cat 内で利用する。
• 図式 I ← E → B → I を用いて2モノイドを定義する。ここで中間の関手は指数可能であり、bicategory Poly_Cat 内の多項式を形成する。
• 2自然変換のcoidentificationを用いてモノイド構造を定義し、構造関手の家族的および余家族的性質により、ファイブレーションおよびオーバーフィブレーションと整合性を保つ。
• 新しい2モノイドの代数が、カテゴリのCat-オペラッドへのオペラッドの弱準同型に対応することを示し、対称モノイド圏内の代数を一般化する。
• オペラッド T がΣ-自由である場合、Lackの2モノイド代数のモデル構造を用いて、新しい2モノイドの厳密代数と標準的2モノイドの厳密代数のモデル圏の間でQuillen同値性を確立する。
• この構成を応用し、2次元モノイド論における普遍性を用いて、オペラッドのPROPを回復する。これは補論文で発展された理論に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、厳密な代数ではなくカテゴリフィケーションされた代数を捉える多項式2モノイドをオペラッドから構成できるか？
• RQ2 この新しい2モノイドは、多項式モノイドの枠組み内で、どのようにしてオペラッド、Cat-オペラッド、クラブを統一するのか？
• RQ3 2圏的coidentificationを用いて、この新しい2モノイドから標準的2モノイドの構成がどのように回復されるのか？
• RQ4 オペラッドがΣ-自由である場合、新しい2モノイドの厳密代数と標準的2モノイドの厳密代数の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 どのようにして、任意の対称モノイド圏内のオペラッド代数を、この新しい2モノイドを用いて自然に記述できるか？

主な発見

• オペラッド T に関連する新しい2モノイドの代数は、T のカテゴリフィケーションされた代数に正確に一致する。たとえば、T が終端オペラッド Com である場合、対応する代数は対称モノイド圏である。
• 終端オペラッド Com に対して、新しい2モノイドの厳密代数は対称な厳密モノイド圏であり、標準的2モノイド T/Σ の厳密代数は Cat 内の可換モノイドである。
• オペラッド T がΣ-自由である場合、新しい2モノイドの厳密代数のモデル圏と標準的2モノイド T/Σ の厳密代数のモデル圏の間にはQuillen同値性が存在する。
• 新しい2モノイドの構成は、2圏的状況下で2モノイドのcoidentifierとして標準的モノイド T/Σ を回復し、古典的構成に対する新たな視点を提供する。
• 任意の対称モノイド圏内のオペラッド代数は、カテゴリのCat-オペラッドへの弱準同型を介して、この新しい2モノイドから自然に得られる。
• この構成により、オペラッド、Cat-オペラッド、クラブがすべて自然にカテゴリカルな多項式モノイドとして埋め込まれ、統一的な枠組みが明らかになる。