[論文レビュー] Operator algebras associated to integral domains

Benton L. Duncan|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、半交叉積構成を用いて整域に関連する非自己随伴作用素代数の新しいクラスを導入し、CuntzとLiの$C^*$-代数的アプローチを一般化する。これらの代数がPetersの半交叉積とは異なること、および代数のユニタリ表現が商体上の正規ユニタリ表現を通じて因数分解されることを示し、$C^*$-包絡構造を確立する。

ABSTRACT

We study operator algebras associated to integral domains. In particular, with respect to a set of natural identities we look at the possible nonselfadjoint operator algebras which encode the ring structure of an integral domain. We show that these algebras give a new class of examples of semicrossed products by discrete semigroups. We investigate the structure of these algebras together with a particular class of representations.

研究の動機と目的

• 整域のための非自己随伴作用素代数フレームワークを、半交叉積技法を用いて開発すること。
• CuntzとLiの$C^*$-代数構成を、恒等式を環論的制約に緩和することで一般化すること。
• 領域が体でない場合、得られる代数がPetersの半交叉積と同型でないことを示すこと。
• ユニタリ表現を分析し、それらが商体$Q(R)$上の正規ユニタリ表現を通じて因数分解することを証明すること。
• $C^*(Q(R))$上の自然な$^*$-表現を用いて$C^*$-包絡構造を確立すること。

提案手法

• 等長作用素$\{s_r\}$とユニタリ$\{u^n\}$によって生成される普遍作用素代数$A(R)$を定義し、$s_r s_t = s_{rt}$、$u^n u^m = u^{n+m}$、$u^n s_r = s_r u^{rn}$を満たす。
• $\ell^2(R)$上の正規等長表現と、$\ell^2(Q(R))$上の正規ユニタリ表現を構成し、後者が前者を拡張することを示す。
• アーベル部の分析にPontryagin双対$\widehat{R,+}$を用い、$C_0(\widehat{R,+})$を介して行う。
• $A(R)$の完全に可約表現が$\widehat{R,+}$上の特徴に一対一対応することを証明し、ネスト代数技法を用いて標準的半交叉積とは同型でないことを示す。
• 任意のユニタリ表現$\pi$に対して、$A(R) \to C^*(Q(R))$への自然な完全に収縮的表現$i$を定義し、$C^*(Q(R))$上の$^*$-表現$\tau_\pi$に拡張する。
• $T_p T_q^* = T_q^* T_p$および$V^n T_q = T_q V^{nq}$の関係を用いて、持ち上げられた作用素が$Q(R)$の$C^*$-関係を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整域の環構造を符号化する作用素代数を、自己随伴を要しない非自己随伴的手法で構成できるか？
• RQ2 整域が体でない場合、これらの代数はPetersの半交叉積とどのように異なるか？
• RQ3 $A(R)$のユニタリ表現は、商体$Q(R)$上の表現を通じて因数分解するか？
• RQ4 $A(R)$の$C^*$-包絡は、$C^*(Q(R)) \rtimes \mathbb{Z}^+$と同型か？
• RQ5 正規ユニタリ表現は、$A(R)$の構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 整域$R$に付随する普遍作用素代数$A(R)$は、$R$が一意分解整域である場合、Petersの半交叉積代数と同型でない。
• すべての$A(R)$のユニタリ表現$\pi$は、$C^*(Q(R))$上の$^*$-表現$\tau_\pi$を介して因数分解され、$\tau_\pi \circ i = \pi$を満たす。これにより、$A(R)$は$C^*(Q(R))$に完全に等長的に入射することが示される。
• 自然な表現$i: A(R) \to C^*(Q(R))$は完全に収縮的であり、商体の$C^*$-代数への$^*$-表現に拡張可能である。
• $R$がUFDである場合、$A(R)$はPetersの意味での半交叉積ではない。これは、素元の乗法的モノイドの非自明な構造に起因する。
• $A(R)$の$C^*$-包絡は、正規表現がユニタリ表現に拡張可能である場合に限り、一般に$C^*$-交叉積と同型でない。
• $\ell^2(Q(R))$上の正規ユニタリ表現は、$\ell^2(R)$上の正規等長表現に制限され、後者は拡張された作用素の作用に関して不変である。