[論文レビュー] Operator algebras with contractive approximate identities, III

David P. Blecher, C. J. Read|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、収縮的近似単位元（cais）を備えた作用素代数の理論を進展させ、新たな正値性の概念とその関連する順序付けを体系的に開発し、錐と正の正則元に関する基礎的結果を証明する。既存の研究におけるほぼすべての未解決問題を解決し、半単純かつ近似的に卪単位元を備えた作用素代数が、弱コンパクトでない例を構成する。また、可換な弱コンパクト代数が非散乱スペクトルを有する可能性があることも示す。

ABSTRACT

We continue our study of operator algebras with contractive approximate identities (cais). In earlier papers we have introduced and studied a new notion of positivity in operator algebras, with an eye to extending certain $C^*$-algebraic results and theories to more general algebras. In the first part of this paper we do a more systematic development of this positivity and its associated ordering, proving many foundational facts. In much of this it is not necessary that the algebra have an approximate identity. In the second part we study interesting examples of operator algebras with cais, which in particular answer questions raised in previous papers in this series. Indeed the present work solves almost all of the open questions raised in these papers. Many of our results apply immediately to function algebras, but we will not take the time to point these out, although most of these applications seem new.

研究の動機と目的

• 作用素代数に収縮的近似単位元（cais）を備える場合の、新たな正値性概念の体系的基盤を構築し、$C^*$-代数理論をより一般の代数へと拡張すること。
• シリーズ論文において長年にわたり未解決であった問題、特にモジュラー零化子代数、弱コンパクト性、スペクトル的性質の間の関係に関する問題を解決すること。
• 代数的に有限生成された右イデアルを代数的に特徴付け、新たな正値性の意味でのUrysohn型補題を証明すること。
• 半単純かつ近似的に単位元を備えた作用素代数の新規な例を構成し、半単純性、弱コンパクト性、スペクトル構造の間の関係に関する重要な問いに答えること。

提案手法

• 集合 $\mathfrak{F}_A = \{a \in A : \|1 - a\| \leq 1\}$, $\mathfrak{c}_A = \mathbb{R}_+ \mathfrak{F}_A$, および $\mathfrak{r}_A = \overline{\mathfrak{c}_A} = \{a \in A : a + a^* \geq 0\}$ を新たな正値性錐として導入・研究する。
• 非単位元代数の正値性を、$A^1$ のユニット化と $A^1$ の単位元 $1$ を用いて定義する。
• ピーク代数およびピーク射影理論を応用し、特に $T \in \frac{1}{2}\mathfrak{F}_A$ に対する $T^k$ の極限挙動を用いて、スペクトル的およびコンパクト射影の性質を分析する。
• モジュラー零化子代数が弱コンパクトでないという含意に対して反例として、非可換な近似的に単位元を備えた作用素代数を構成する。
• 重み付きシフト作用素と $H^p(\beta)$ 空間を用いて、非散乱スペクトルを有する可換な反例を構成する。
• スペクトル半径の推定と $\lambda I - T_n$ の逆作用素に対するノルムの上限を用い、$\|S^k\| \to 0$ を示し、$T^k$ がピーク射影に収束することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純かつ近似的に単位元を備えた作用素代数がモジュラー零化子代数であるが、弱コンパクトでないことはあり得るか？
• RQ2 可換かつ近似的に単位元を備えた弱コンパクト作用素代数が非散乱スペクトルを有する、あるいは内部を有するスペクトルを有する可能性はあるか？
• RQ3 ラジカル作用素代数の双対双対が半単純になり得るか？
• RQ4 新たな正値性の意味で正であるが、古典的正値性に限りなく近い要素を含むUrysohn型補題は、作用素代数に存在するか？
• RQ5 作用素代数にcaisを備える場合、代数的に有限生成された右イデアルの構造はいかなるものか？

主な発見

• 半単純かつ近似的に単位元を備えた作用素代数がモジュラー零化子代数であるが、弱コンパクトでないものが存在する。これは [12] および [26] における問いに答えている。
• 可換かつ近似的に単位元を備えた弱コンパクトで半単純な作用素代数が存在し、そのスペクトルに空でない内部を有する。これは、このような代数が必ず散乱スペクトルを有するとは限らないことを示している。
• ラジカル作用素代数の双対双対が半単純になり得る。これは、ラジカル代数の双対双対が必ずしもラジカルでないことを示している。
• $A^{**}$ 内のコンパクト射影の集合は $D_0 \cap A_{00}$ に含まれており、すべてのコンパクト射影はピーク射影 $u(T)$ の単調減少列の極限として得られる。
• $T \in \frac{1}{2}\mathfrak{F}_A$ に対して、$T^k$ は弱*位相でピーク射影 $u(T)$ に収束し、$u(T)$ は $D_0 \cap A_{00}$ 内の射影である。
• 構成された作用素 $S$ のスペクトル半径は $r(S) \leq 4p(T)\epsilon < 1$ を満たし、$\|S^k\| \to 0$ がノルムで成り立つ。これは $T^k$ が $u(T)$ に収束することを示すために重要な役割を果たす。