[論文レビュー] Operator amenability of the Fourier algebra in the cb-multiplier norm

Brian Forrest, Volker Runde+1 more|ArXiv.org|Jan 6, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散的かつ弱可換な群 $G$ に対して、cb乗法子ノルムを備えたフォーリエ代数 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ が、$G$ が有限次元的余有限であるとき、作用素可換であることを確立している。顕著な事実として、$ \mathbb{F}_2$ が可換でないにもかかわらず、$A_{\mathrm{cb}}(\mathbb{F}_2)$ は作用素可換である。著者らは、$A(G)$ の弱完全補空間となる閉イデアルが、ちょうど cb有界近似単位を持つものと一致することを証明している。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group, and let $A_\cb(G)$ denote the closure of $A(G)$, the Fourier algebra of $G$, in the space of completely bounded multipliers of $A(G)$. If $G$ is a weakly amenable, discrete group such that $\cstar(G)$ is residually finite-dimensional, we show that $A_\cb(G)$ is operator amenable. In particular, $A_\cb(F_2)$ is operator amenable even though $F_2$, the free group in two generators, is not an amenable group. Moreover, we show that, if $G$ is a discrete group such that $A_\cb(G)$ is operator amenable, a closed ideal of $A(G)$ is weakly completely complemented in $A(G)$ if and only if it has an approximate identity bounded in the cb-multiplier norm.

研究の動機と目的

• フォーリエ代数 $A(G)$ を cb乗法子ノルムの下で完備化して得られる $A_{\mathrm{cb}}(G)$ の作用素可換性を調査すること。
• 非可換群、特に離散群 $\mathbb{F}_2$ のような群に対して、$A_{\mathrm{cb}}(G)$ が作用素可換であるかどうかを特定すること。
• $A(G)$ の弱完全補空間となる閉イデアルを、cb乗法子ノルムで有界な近似単位の観点から特徴づけること。
• 作用素空間的手法を用いて、可換な場合に限らない $A(G)$ のイデアルに関する既知の補空間結果を拡張すること。

提案手法

• 完全有界乗法子の空間における $A(G)$ の閉包として $A_{\mathrm{cb}}(G)$ を定義し、cb乗法子ノルムを備える。
• Ruan が導入した作用素可換性の概念と作用素空間理論を用いて、$A_{\mathrm{cb}}(G)$ を量子化されたバナッハ代数として分析する。
• $A_{\mathrm{cb}}(G)$ 上のモジュール理論、特に完全有界モジュール射影と $\mathrm{VN}(G)$ の双対性を用いて、イデアルの補空間性を研究する。
• $A_{\mathrm{cb}}(G)$ が双対空間であることを利用し、近似単位の弱*極限点を抽出することで、$\mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(G)$ 内の特性関数の構成を可能にする。
• $\mathrm{VN}(G)$ 及びその双対における射影のモジュール準同型性を用いて、有界乗法子を $A(G)$ に引き上げる。これにより、特定の集合 $F$ に対して $1_F \in \mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$ であることを証明する。
• 双対性とモジュール構造を用いて、イデアルの補空間性と cb 有界近似単位の存在が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な離散群 $G$ に対して、$A_{\mathrm{cb}}(G)$ が作用素可換となるのはどのような群か？
• RQ2 $G$ が可換でない場合でも、$A_{\mathrm{cb}}(G)$ が作用素可換であることは可能か？
• RQ3 $A_{\mathrm{cb}}(G)$ が作用素可換であるとき、$A(G)$ の弱完全補空間となる閉イデアルはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 cb 有界近似単位の存在と $A(G)$ のイデアルの補空間性との間に、何らかの関係があるか？
• RQ5 作用素空間的手法は、フォーリエ代数における古典的な補空間性および近似単位に関する結果をどのように拡張するか？

主な発見

• 離散的かつ弱可換な群 $G$ で、$C^*(G)$ が有限次元的余有限であるとき、$A_{\mathrm{cb}}(G)$ は作用素可換である。
• $\mathbb{F}_2$ が可換でないにもかかわらず、$A_{\mathrm{cb}}(\mathbb{F}_2)$ は作用素可換である。これは、この文脈において非可換群に対して作用素可換性を示す最初の例である。
• $A(G)$ の閉イデアル $I$ が $A(G)$ において弱完全補空間であることは、$I$ が cb 乗法子ノルムで有界な近似単位を持つことと同値である。
• $A_{\mathrm{cb}}(G)$ が作用素可換であるとき、$A(G)$ の閉イデアル $I$ が完全補空間であることは、$I = I(F)$ を満たす $F \subset G$ が存在し、$1_F \in \mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$ であることと同値である。
• イデアル $I \subset A(G)$ に対して cb 有界近似単位が存在するならば、関連する集合 $F$ の特性関数 $1_F$ は $\mathcal{M}_{\mathrm{cb}}(A(G))$ に属する。
• 証明技法は、[Woo1] および [Woo2] の結果を非可換群へ拡張するために、$A(G)^{**}$ 及び $\mathrm{VN}(G)$ におけるモジュール準同型と双対性を用いることで、拡張されている。