[論文レビュー] Operator Complexity for Continuous Variable Systems

S. Shajidul Haque, Chandan Jana+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Quantum Information and Cryptography参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子調和振動子における移動、スケーリング、回転演算子の群多様体上の最小測地線長を計算することにより、連続変数系への演算子複雑度の拡張を試みている。複雑度は状態に依存せず、移動の複雑度はコherent状態パラメータに等しく、スケーリングの複雑度はスケーリングパラメータに比例し、スケーリング角度に依存しないことが判明した。

ABSTRACT

We extend the method of computing operator complexity as a minimal length geodesic on a group manifold to infinite-dimensional Hilbert spaces by computing the complexity for the displacement, squeeze and rotation operators of a quantum harmonic oscillator. The resulting complexity of these operators is state-independent since this approach is independent of the particular reference and target states chosen. We show how the group manifold geometry associated with the Heisenberg generators of the displacement operator is non-compact 3-dimensional hyperbolic space, with a time-independent complexity equal to the magnitude of the coherent state parameter. A generic quadratic Hamiltonian for a quantum harmonic oscillator can be decomposed as a product of squeeze and rotation operators, parameterized by a squeezing parameter, squeezing angle, and rotation angle. The squeeze and rotation operators are elements of the group SU(1,1), and we again find an associated geometry of the group manifold that is negatively curved. The corresponding complexity of the squeezing operator is proportional to the squeezing parameter and is independent of the squeezing angle, in contrast the complexity of squeezed states found in some state-based approaches. These results are a step towards characterizing the properties of quantum information for continuous variable systems in a state-independent way.

研究の動機と目的

• 連続変数系の無限次元ヒルベルト空間への演算子複雑度の一般化を目的とする。
• 調和振動子系における量子回路複雑度を定量化する状態に依存しないフレームワークの構築を目的とする。
• 移動、スケーリング、回転演算子に関連する演算子多様体の幾何構造の特定を目的とする。
• 複雑度が特定の参照状態やターゲット状態に依存するのではなく、群多様体の幾何学的性質に起因することを確立することを目的とする。

提案手法

• 量子調和振動子の演算子の複雑度を、群多様体上の最小測地線長として計算する。
• 移動演算子をヘイゼンベルク群でモデル化し、その多様体は非コンパクトな3次元双曲空間である。
• SU(1,1)群構造を用いて一般の二次ハミルトニアンをスケーリングと回転演算子の積としてパラメータ化する。
• 負の曲率を示すSU(1,1)群多様体の幾何学を用いて、スケーリングおよび回転演算子の複雑度を導出する。
• 群多様体上の不変計量を用いて、恒等演算子からのリーマン距離として複雑度を計算する。
• 複雑度測度が参照状態およびターゲット状態の選択に依存しないように、演算子群構造にのみ依存させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続変数量子系における無限次元ヒルベルト空間において、演算子複雑度を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 調和振動子における移動、スケーリング、回転演算子の複雑度の背後にある幾何構造は何か？
• RQ3 これらの演算子の複雑度は、参照状態およびターゲット量子状態の選択に依存するか？
• RQ4 スケーリング演算子の複雑度は、そのスケーリングパラメータおよび角度とどのように関係するか？
• RQ5 これらの量子操作を実装する際の固有の難易度を捉えることができる、状態に依存しない複雑度測度を構築できるか？

主な発見

• 移動演算子の複雑度は、特定のcoherent状態に依存せず、coherent状態パラメータの大きさに等しい。
• 移動演算子の群多様体は非コンパクトな3次元双曲空間であり、時間に依存しない複雑度を持つ。
• スケーリング演算子の複雑度はスケーリングパラメータに比例し、スケーリング角度に依存しない。
• 回転演算子の複雑度も状態に依存せず、SU(1,1)群多様体の負の曲率幾何学に起因する。
• 任意の二次ハミルトニアンの総合的複雑度は、スケーリングと回転演算子の複雑度の積で決定され、参照状態やターゲット状態に依存しない。
• このフレームワークは、連続変数系における量子情報複雑度の状態に依存しない特徴付けに成功している。