[論文レビュー] Towards the non-equilibrium thermodynamics of the complexity and the Jarzynski identity

Chen Bai, Wenhao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 61被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、複雑性幾何学とJarzynski恒等式を用いて、量子計算複雑性の非平衡熱力学的枠組みを提案する。SU(N)多様体上に分配関数を構築し、吸収項を含むFokker-Planck方程式からJarzynski恒等式を導出し、フラクチュアーション・ディスシペーショングループ定理を確立するとともに、第二法則の複雑性を証明する。数値的に横磁場イジング模型を用いて検証される。

ABSTRACT

We discuss, from a non-equilibrium thermodynamics perspective, the proposals that quantum computational complexity can be described via geometric approaches, i.e. complexity geometry. We review the basic concepts of complexity geometry and the principle of minimum complexity. We describe how to construct a partition function on special unitary group manifold, which may be extended to derive the Jarynzki identity from a Fokker-Planck equation with a sink term. In this way, we obtain, by using the Hamilton-Jacobi equation, the Jarzynski identity that directly relates to quantum computational complexity for what might be carried out to provide a non-equilibrium framework for describing quantum complexity. In this paper, we mainly utilize this framework to prove the second law of complexity and obtain a fluctuation-dissipation theorem based on the complexity version of the Jarzynski identity. Besides, we choose the transverse field Ising model as an example to test our results numerically.

研究の動機と目的

• 量子計算複雑性の非平衡熱力学的記述を開発すること。
• SU(N)多様体上の分配関数を介して、複雑性幾何学とJarzynski恒等式の間の関係を確立すること。
• この枠組みにおいて、フラクチュアーション・ディスシペーショングループ定理を導出し、第二法則の複雑性を証明すること。
• 多数体量子系における数値シミュレーションを用いて、理論的枠組みを検証すること。

提案手法

• 量子複雑性を熱力学的系としてモデル化するため、特殊ユニタリ群多様体上に分配関数を構築する。
• 非平衡ダイナミクスを記述するため、吸収項を含むFokker-Planck方程式からJarzynski恒等式を導出する。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式を用いて、ダイナミクスとJarzynski恒等式、複雑性測度を結びつける。
• 複雑性幾何学を用いて最小複雑性経路を定義し、非平衡過程における熱力学的仕事と関連付ける。
• 予測の数値的検証のために、枠組みを横磁場イジング模型に実装する。
• 得られた形式的体系を用いて、量子複雑性固有のフラクチュアーション・ディスシペーショングループ定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的複雑性アプローチを用いて、量子計算複雑性を非平衡熱力学的枠組みで記述できるか？
• RQ2 量子複雑性の文脈において、吸収項を含むFokker-Planck方程式からJarzynski恒等式をどのように導出できるか？
• RQ3 複雑性-熱力学枠組みにおけるフラクチュアーション・ディスシペーショングループ定理の形は何か？
• RQ4 この非平衡形式的体系から、第二法則の複雑性はどのように導かれるか？
• RQ5 理論的予測は、横磁場イジング模型のような多数体量子系において数値的に検証可能か？

主な発見

• 吸収項を含むFokker-Planck方程式からJarzynski恒等式が成功裏に導出され、量子計算複雑性と結びつけられた。
• 複雑性-熱力学枠組み内に、平衡統計力学に類似したフラクチュアーション・ディスシペーショングループ定理が確立された。
• 第二法則の複雑性が証明され、量子計算を実装するために必要な平均仕事は、複雑性の変化を上回ることを示した。
• 横磁場イジング模型を用いた数値的検証により、理論的予測と整合性があることが示された。
• SU(N)多様体上の分配関数は、量子複雑性の幾何的・熱力学的記述を提供し、非平衡解析を可能にした。