[論文レビュー] Operator-scaling Gaussian random fields via aggregation

Yi Shen, Yizao Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2つの相関のある1次元ランダムウォークとランダムなパーサステンス・パラメータから構築された±1値をとる場を用いた、集約されたランダムフィールドモデルを提案する。パラメータの異なる従属構造におけるスケーリング極限を分析することで、長方形領域の成長率に応じて、分数ブラウンシートや長距離依存性を示す広範なクラスのフィールドを含む、演算子スケーリングガウス型ランダムフィールドが極限として出現することが明らかになった。臨界速度では、長記憶過程の豊かな族が得られる。

ABSTRACT

We propose an aggregated random-field model, and investigate the scaling limits of the aggregated partial-sum random fields. In our model, each copy of the random field in the aggregation is built from two correlated one-dimensional random walks, each with a random persistence parameter. When the persistence parameters are independent, the scaling limit is a fractional Brownian sheet. When the persistence parameters are dependent, the scaling limit is more delicate, and in particular depends on the growth rates of the underlying rectangular region along two directions: at different rates different operator-scaling Gaussian random fields appear as the region area tends to infinity. In particular, at the so-called critical speed, a large family of Gaussian random fields with long-range dependence arise in the limit. We also identify four different regimes at non-critical speed where fractional Brownian sheets arise in the limit.

研究の動機と目的

• スケーリング極限として演算子スケーリングガウス型ランダムフィールドを生成する空間的集約モデルの構築を目的とする。
• パーサステンス・パラメータ内の従属構造が、集約されたランダムフィールドの極限挙動に与える影響を調査することを目的とする。
• 特に領域の成長率が臨界である場合に、極限で長距離依存性が生じる条件を同定することを目的とする。
• 非等方的スケーリングを持つ2次元空間モデルへの関数中心極限定理フレームワークの拡張を目的とする。
• 異なるパrameter従属の状態における、分数ブラウンシートおよびより一般的な演算子スケーリングフィールドの出現を特徴づけること

提案手法

• 2つの相関のある1次元ランダムウォークとランダムなパーサステンス・パラメータから構築された±1値をとるi.i.d. ランダムフィールドのコピーを、空間的に集約する。
• パーサステンス・パラメータの柔軟な同時分布を導入し、多変量正規化変動を用いて独立性または尾部従属性を可能にする。
• 長方形領域上の部分和フィールドのスケーリング極限を調べるために、関数中心極限定理の技術を適用する。
• スペクトル解析と積分変換を用いて、極限過程の漸近的共分散構造を導出する。
• パラメータが独立である場合に極限が分数ブラウンシートとなる条件と、パラメータが尾部従属である場合により一般的な演算子スケーリングガウス型フィールドとなる条件を導出する。
• 発散する積分を極限導出において評価するために、ベータ関数の恒等式と変数変換を用いる。特に臨界速度領域で有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従属するランダムウォークの集約が、どのような条件下で演算子スケーリングガウス型ランダムフィールドの極限として現れるか？
• RQ2 パーサステンス・パラメータの従属構造、特に尾部従属性がスケーリング極限に与える影響は何か？
• RQ3 長方形領域が2つの空間次元に沿って異なる速度で成長する場合、極限過程にはどのような影響が生じるか？
• RQ4 領域の臨界成長率が、長距離依存性を示す広範なガウス型フィールドの族をもたらすか？
• RQ5 極限における漸近的共分散構造の正確な形は何か？また、それらは元のランダムウォークのパrameterとどのように関係するか？

主な発見

• パーサステンス・パラメータが独立である場合、集約されたランダムフィールドのスケーリング極限は分数ブラウンシートとなる。
• パーサステンス・パラメータが尾部従属であり、臨界でない速度で成長する場合、4つの明確に異なる定常状態が出現し、それぞれが極限で分数ブラウンシートをもたらす。
• 臨界成長率では、長距離依存性を示す、演算子スケーリングガウス型ランダムフィールドの広い族が極限として出現する。
• 極限過程は、パーサステンス・パラメータの同時分布および長方形領域の非等方的成長率に依存する。
• 極限の漸近的共分散構造は、スペクトル解析と積分変換を用いて導出され、ベータ関数とパrameter α₁, α₂, H を含む明示的な式で表される。
• 補足資料では、支配収束定理とモーメントの有界性を用いて、有限次元分布の収束およびその緊密性が確立されている。