[論文レビュー] Optimal bilinear control of nonlinear stochastic Schrödinger equations driven by linear multiplicative noise

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スコロホドの表現定理、エケランドの変分原理、および線形化された双対後向きストキャスティック方程式に対する新規の存在結果を用いて、線形乗法的ノイズによって駆動される非線形確率的シュレーディンガー方程式に対するオープンループ最適制御の存在を確立し、一次の最適性条件を導出する。このアプローチは確率的および決定的両ケースに適用可能であり、不確実性下での双線形量子制御に向けた厳密なフレームワークを提供する。

ABSTRACT

Here is investigated the bilinear optimal control problem of quantum mechanical systems with final observation governed by a stochastic nonlinear Schrödinger equation perturbed by a linear multiplicative Wiener process. The existence of an open loop optimal control and first order Lagrange optimality conditions are derived, via Skorohod's representation theorem, Ekeland's variational principle and the existence for the linearized dual backward stochastic equation. Moreover, our approach in particular applies to the deterministic case.

研究の動機と目的

• 線形乗法的ノイズを伴う非線形確率的シュレーディンガー方程式に対する最適制御の未解決問題に取り組む。
• このような方程式によって記述される量子系に対するオープンループ最適制御の存在を確立する。
• 確率的摂動が存在する状況における一次ラグランジュ最適性条件を導出する。
• このフレームワークを決定的ケースとして特殊な場合に拡張する。
• 連続測定およびノイズ下での量子系における双線形制御に向けた厳密な分析的基盤を提供する。

提案手法

• 制御空間における弱収束を扱うためにスコロホドの表現定理を用いる。
• 必要最適性条件を導出するためにエケランドの変分原理を適用する。
• 線形シュレーディンガー方程式に対する鋭い確率的推定を用いて、線形化された双対後向きストキャスティック方程式の解の存在を確立する。
• 時間に依存する係数を伴う線形シュレーディンガー方程式に対するストリコルツ型推定を用いる。
• 変数変換 $ y = e^{-W}X $ を用いて方程式を、決定的ストリコルツ推定に適した形に変換する。
• 全 variation および連続性指数に関する条件を用いて、制御列の $ L^1(0,T;\mathbb{R}^m) $ におけるtightnessを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形乗法的ノイズと双線形制御構造を有する非線形確率的シュレーディンガー方程式に対して、最適制御が存在するか？
• RQ2 このような制御問題における一次必要最適性条件は何か？
• RQ3 係数に関する一般仮定の下で、双対後向きストキャスティック方程式の解の存在を確立できるか？
• RQ4 確率的摂動は、確率の保存および系の適切に定義されている性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 このフレームワークは、ノイズが消える極限として決定的ケースに拡張可能か？

主な発見

• 線形乗法的ノイズを伴う非線形確率的シュレーディンガー方程式の双線形制御問題に対して、オープンループ最適制御が存在する。
• エケランドの変分原理および双対後向き方程式を用いて、一次ラグランジュ最適性条件が導出された。
• 線形シュレーディンガー方程式に対する鋭い確率的推定を用いて、線形化された双対後向きストキャスティック方程式の解の存在が確立された。
• 適切な位相における制御から状態への写像が連続であることが示され、最適制御の存在を支持する。
• このフレームワークは決定的ケースに適用可能であり、ノイズが消える場合に既知の結果が特殊ケースとして回復される。
• 可積分性および正則性条件の下で、$ L^1(0,T;\mathbb{R}^m) $ における制御則のtightnessが証明され、弱収束が保証された。