[論文レビュー] Optimal binary linear locally repairable codes with disjoint repair groups

Jingxue Ma, Gennian Ge|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Advanced Data Storage Technologies参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限幾何における弱い独立集合と部分スオートを用いて、最小距離 d=6 および d=8 の場合の、交差する修理グループをもつ最適な二進線形局所修理可能符号（LRC）の明示的構成を提案する。新たな符号次元の上限を確立し、r∈{2,3}、d=6 においてほぼすべてのパラメータで最適性を達成しており、Cadambe-Mazumdar の上限に一致または近接している。

ABSTRACT

In recent years, several classes of codes are introduced to provide some fault-tolerance and guarantee system reliability in distributed storage systems, among which locally repairable codes (LRCs for short) play an important role. However, most known constructions are over large fields with sizes close to the code length, which lead to the systems computationally expensive. Due to this, binary LRCs are of interest in practice. In this paper, we focus on binary linear LRCs with disjoint repair groups. We first derive an explicit bound for the dimension k of such codes, which can be served as a generalization of the bounds given in [11, 36, 37]. We also give several new constructions of binary LRCs with minimum distance $d = 6$ based on weakly independent sets and partial spreads, which are optimal with respect to our newly obtained bound. In particular, for locality $r\in \{2,3\}$ and minimum distance $d = 6$, we obtain the desired optimal binary linear LRCs with disjoint repair groups for almost all parameters.

研究の動機と目的

• 交差する修理グループをもつ二進線形LRCの次元kに関する新たな上界を導出すること。これは、従来のSingletonに類似した上限およびCadambe-Mazumdarの上限を一般化する。
• F₂上での弱い独立集合と部分スオートを用いて、最小距離d=6の最適な二進LRCを構成すること。
• d=8に拡張するため、任意の3つの修理グループ部分空間の和がフル次元となるように保証することにより、より高い耐故障性を実現すること。
• r=2,3およびd=6,8において、d-最適またはk-最適な符号を達成すること。新しい次元制約下で理論的上限に一致または近接すること。
• 計算的に効率的で、二進アルファベットを用いた実用的な分散ストレージシステムに適した明示的構成を提供すること。

提案手法

• 交差する修理グループをもつ二進LRCの次元kに関する新たな上界を導出し、既存の上限を一般化するとともに、体のサイズと符号構造を統合する。
• F₂^sにおける弱い独立集合を用いて、d=6の二進LRCを構成し、3つのベクトルの和がゼロにならないように保証することで、最小距離を保証する。
• F₂^sにおける2次元部分空間の部分スオートを用いて符号を構成し、各部分空間が局所修理性rをもつ修理グループに対応する。
• d=8の場合、部分スオートの部分集合に対して性質Pを定義し、その部分集合に属する任意の3つの部分空間が、次元6の直和を持つようにすることで、d≥8を保証する。
• 各ブロックが修理グループに対応するブロック構造を持つパリティ検査行列を構築し、部分空間の基底ベクトルを用いて局所修理性を定義する。
• 新たに導出された上限およびCadambe-Mazumdarの上限と比較することで、最適性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたn, r, dに対して、交差する修理グループをもつ二進線形LRCの次元kに関する、最もきつい上界は何か？
• RQ2 F₂^sにおける弱い独立集合と部分スオートを用いて、d=6の最適な二進LRCを構成できるか？
• RQ3 r=2の二進LRCでd≥8を達成するために、3つの部分空間の和の次元をどのように制御できるか？
• RQ4 Cadambe-Mazumdarの上限は、明示的な二進LRC構成によってどの程度達成または近接できるか？
• RQ5 d=6およびr∈{2,3}の二進LRCについて、ほぼすべてのパrameterセットで最適な明示的構成は存在するか？

主な発見

• 交差する修理グループをもつ二進線形LRCの次元kに関する新たな上界が導出され、従来の上限を一般化し、Singletonに類似した上限よりもきつい制約を提供する。
• r∈{2,3}およびd=6の場合、弱い独立集合と部分スオートを用いて最適な二進LRCが構成され、ほぼすべてのパrameterセットで新たな上限に達している。
• F₂⁶における2スオートを用いて、明示的な[18,6,8;2]₂ LRCが構成され、6つの2次元部分空間の基底ベクトルからなるパリティ検査行列が得られている。この構成は、3つの部分空間の和の次元条件を満たしている。
• 構成された[18,6,8;2]₂符号は、新たな上限に対して最適であり、Cadambe-Mazumdarの上限にも一致しており、理論的最適性が確認された。
• d=8およびr=2の場合、任意の3つの修理グループ部分空間が次元6の直和を持つようにすることで、d≥8を保証する。これは性質Pの条件を介して検証された。
• 本稿は、同様の枠組みを用いて、[20,8,8;3]₂および[24,11,8;3]₂といった追加の最適符号を構成し、すべて理論的次元上限に一致している。