[論文レビュー] Optimal control of a parabolic fractional PDE: analysis and discretization

Christian Glusa, Enrique Otárola|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、積分型分数ラプラシアンを伴う放物型分数PDEに従う線形二次最適制御問題を解くための完全離散数値スキームを提示する。時間方向には陰的後退オイラー積分法、空間方向には一次元線形有限要素法、制御関数には一定関数を用い、$L^2(0,T;L^2(\theta))$における新たな$a\ priori$誤差推定を達成し、数値実験で最適収束速度を示している。

ABSTRACT

We consider the integral definition of the fractional Laplacian and analyze a linear-quadratic optimal control problem for the so-called fractional heat equation; control constraints are also considered. We derive existence and uniqueness results, first order optimality conditions, and regularity estimates for the optimal variables. To discretize the state equation equation we propose a fully discrete scheme that relies on an implicit finite difference discretization in time combined with a piecewise linear finite element discretization in space. We derive stability results and a novel $L^2(0,T;L^2(Ω))$ a priori error estimate. On the basis of the aforementioned solution technique, we propose a fully discrete scheme for our optimal control problem that discretizes the control variable with piecewise constant functions and derive a priori error estimates for it. We illustrate the theory with one- and two-dimensional numerical experiments.

研究の動機と目的

• 積分型分数ラプラシアンを伴う放物型分数最適制御問題の解の存在、一意性、正則性を解析すること。
• 状態方程式のための時間方向陰的積分法と空間方向有限要素近似を組み合わせた完全離散数値スキームの開発。
• 状態変数および制御変数について、$L^2(0,T;L^2(\theta))$における$a\ priori$誤差推定を導出すること。
• 区分的定数関数による制御近似を用いた完全離散スキームを提案し、対応する$a\ priori$誤差推定を確立すること。
• 1次元および2次元の数値実験を実施し、収束速度解析を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 状態方程式は、時間方向に陰的後退オイラースキーム、空間方向に適合型一次元線形有限要素法を用いて離散化する。
• 制御変数は、空間および時間ともに区分的定数関数で近似する。
• 状態方程式のための変分定式化が導かれ、数値的に解ける saddle-point 系に帰着される。
• 解析は、$\mathbb{R}^n$ 上の特異積分を用いて定義される分数ラプラシアンの積分定義に依拠しており、領域 $\Omega$ 外部ではゼロ拡張が行われる。
• エネルギー論法と非局所ソボレフ空間における補間理論を用いて、安定性および$a\ priori$誤差推定が導かれる。
• 収束速度の評価のために、準均一メッシュおよびグレーデッドメッシュ上での数値実験が$Q$における$L^2(Q)$および$(0,T),H^s(\Omega))$ノルムで実施される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分型分数ラプラシアンを伴う放物型分数PDEに従う最適制御の存在および一意性はどのように保証されるか？
• RQ2 データの滑らかさを最小限にした仮定のもとで、最適状態および最適制御変数の正則性はどのように確立できるか？
• RQ3 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ノルムにおける、状態方程式の完全離散スキームの収束速度は何か？
• RQ4 $s \in (1/2,1)$の場合に、グレーデッドメッシュは数値スキームの収束挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 区分的定数制御近似を用いた完全離散最適制御問題の$a\ priori$誤差推定は何か？

主な発見

• 状態方程式に適用した完全離散スキームについて、$L^2(0,T;L^2(\Omega))$ノルムにおける新たな$a\ priori$誤差推定が得られた。
• 準均一メッシュ上では、状態変数の$L^2(Q)$ノルムにおける最適収束速度$\mathcal{O}(\tau + h)$が観察された。
• グレーディングパラメータ$\kappa=2$のグレーデッドメッシュでは、特に$s=0.75$の場合に、特異解の近似が向上し、収束速度が向上した。
• 制御変数の誤差は、$L^2(Q)$ノルムにおいて$\mathcal{O}(\tau + h)$の速度で収束し、理論的推定と整合的であった。
• 1次元および2次元問題における数値実験により、$s$やメッシュタイプを変化させた場合でも、理論的収束速度が確認された。
• 制御制約付き問題$\mathsf{a}(x,t) \leq \mathsf{z}(x,t) \leq \mathsf{b}(x,t)$に対しても解析が拡張され、スキームは安定かつ収束性を保った。