[論文レビュー] Optimal control of diffusion equation with fractional time derivative with nonlocal and nonsingular Mittag-Leffler kernel

Jean‐Daniel Djida, Gisèle Mophou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間に非局所的で特異的でないMittag-Leffler核を持つ分数階微分作用素を有する分数階拡散方程式に対して、すべてのα ∈ (0,1) において解の存在および一意性を示している。スペクトル法を用いて、さらにラグランジュ乗数法を用いて最適制御問題を定式化・解明し、二次的コスト関数を最小化する一意的な制御を導出する一階最適性系を導出している。

ABSTRACT

In this paper, we consider a diffusion equation with fractional-time derivative with nonsingular Mittag-Leffler kernel in Hilbert spaces. Existence and uniqueness of solution are proved by means of a spectral argument. The existence of solution is obtained for all values of the fractional parameter $α\in (0,1)$. Moreover, by applying control theory to the fractional diffusion problem we obtain an optimality system which has also a unique solution.

研究の動機と目的

• すべてのα ∈ (0,1) に対して、Atangana-Baleanu時間微分を有する分数階拡散方程式の解の存在および一意性を確立すること。これは、Caputo や Riemann-Liouville の定式化で見られるように α ∈ (1/2,1) に制限されるのを克服することを目的とする。
• 状態追従誤差と制御努力を含む二次的コスト関数を最小化することを目的とした、分数階拡散方程式の最適制御問題の定式化および分析。
• ラグランジュ乗数法を用いて一階最適性系を導出し、一意的な最適制御の存在を保証すること。
• Atangana-Baleanu分数階微分が、古典的分数階微分とは異なり、α ∈ (0,1) の全範囲で適切に定義された問題を可能にすることを示すこと。
• 随伴状態系と最適性条件を通じて、最適制御を構成的に計算するフレームワークを提供すること。

提案手法

• Hilbert空間におけるスペクトル理論を用いて、Atangana-Baleanu分数階微分作用素（α ∈ (0,1)）を有する分数階拡散方程式を分析する。
• Atangana-Baleanu分数階微分作用素に対する部分積分公式を用いて、問題の弱形式を導出する。
• Lax-Milgram補題を適用して、状態方程式の弱解の存在および一意性を証明する。
• 状態追従誤差と制御正則化（Tikhonov型項）を組み合わせたコスト関数を用いて最適制御問題を構築する。
• 時間反転Atangana-Baleanu微分作用素を用いて、終端条件η(T) = 0を満たす時間反転の随伴方程式を導出する。
• ラグランジュ乗数法を適用して一階最適性系を導出し、制御の公式ū = −η/𝒩を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Atangana-Baleanu時間微分を有する分数階拡散方程式に対して、すべてのα ∈ (0,1) において、解の存在および一意性を示すことは可能か。特にα ≤ 1/2 の場合も含むか。
• RQ2 特異的でない非局所的Mittag-Leffler核を持つ分数階微分作用素を有する拡散方程式に対して、最適制御をどのように定式化し、解くことができるか。
• RQ3 このような制御問題における最適性系の構造は何か。また、それが一意的な最適制御を保証するか。
• RQ4 Atangana-Baleanu微分の選択が、状態方程式および随伴方程式の正則性と可解性に与える影響は、Caputo や Riemann-Liouville微分と比べてどう異なるか。
• RQ5 最適制御は随伴状態の観点から明示的に特徴づけられるか。また、その結果得られるフィードバック則は何か。

主な発見

• Atangana-Baleanu時間微分を有する分数階拡散方程式の解の存在および一意性が、すべてのα ∈ (0,1) に対して証明された。これは、従来のα ∈ (1/2,1) に制限されていた結果を拡張したものである。
• 最適制御問題は一意な解を有し、最適制御は公式ū = −η/𝒩で特徴づけられる。ここでηは随伴方程式の解である。
• 一階最適性系は、状態方程式、終端条件を満たす随伴方程式、および制御公式から構成され、最適制御の完全な特徴づけを提供する。
• 随伴状態ηはL²((0,T); H²(Ω) ∩ H₀¹(Ω))に属し、最適性条件が成立するのに十分な正則性を保証する。
• コスト関数の汎関数微分が最適制御において消失し、導出された制御が必要最適性条件を満たすことが確認された。
• 本手法により、特異的でない非局所的核を持つ分数階偏微分方程式への最適制御理論が成功裏に一般化され、記憶効果を有する複雑な系に対する強固なフレームワークが提供された。