[論文レビュー] Optimal control of network-coupled subsystems: Spectral decomposition and low-dimensional solutions

Shuang Gao, Aditya Mahajan|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2020

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 63被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、グラフに基づく動的およびコスト結合を有するネットワーク結合型サブシステムの最適制御のためのスペクトル分解手法を提案する。対称的結合行列の固有値分解を活用することで、元の高次元リッカチ問題を、Ldist + 1個の独立したdx×dxリッカチ方程式に低次元化する。ここでLdistは非ゼロ固有値の異なる値の数であり、ネットワークサイズに依存しないスケーラブルで低複雑性の制御合成を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we investigate optimal control of network-coupled subsystems where the dynamics and the cost couplings depend on an underlying undirected weighted graph. The graph coupling matrix in the dynamics may be the adjacency matrix, the Laplacian matrix, or any other symmetric matrix corresponding to the underlying graph. The cost couplings can be any polynomial function of the underlying coupling matrix. We use the spectral decomposition of the graph coupling matrix to decompose the overall system into (L+1) systems with decoupled dynamics and cost, where L is the rank of the coupling matrix. Furthermore, the optimal control input at each subsystem can be computed by solving (Ldist + 1) decoupled Riccati equations where Ldist (Ldist \leq L) is the number of distinct non-zero eigenvalues of the coupling matrix. A salient feature of the result is that the solution complexity depends on the number of distinct eigenvalues of the coupling matrix rather than the size of the network. Therefore, the proposed solution framework provides a scalable method for synthesizing and implementing optimal control laws for large-scale network-coupled subsystems.

研究の動機と目的

• 複雑な結合を有する大規模ネットワーク系における最適制御則の合成の課題に取り組む。
• 大規模ネットワークにおける集中型リッカチ解法の計算不能性（O(n²dx²)の複雑性）を克服する。
• ネットワークサイズではなく、結合行列のスペクトル特性に基づいて制御合成の複雑性を低減するスケーラブルなフレームワークを開発する。
• 集約状態情報と近隣データを用いて、局所的または分散的実装が可能な最適制御を可能にする。
• 結合がサブシステム間で非一様であっても、近似ではなく正確な最適解を提供する。

提案手法

• 対称的結合行列M（例：隣接行列、ラプラシアン）に対してスペクトル分解を適用し、全状態をL個の直交固有空間に射影する。ここでLはMのランクである。
• システムをL+1個の独立したサブシステムに分解する：非ゼロ固有値に対応するL個の固有系と、零空間に対応する1つの補助系。
• 元の線形二次調節器（LQR）問題を、L+1個の独立したLQR問題に変換し、それぞれがdx×dxリッカチ方程式で解けるようにする。
• Ldist + 1個のリッカチ方程式を解くのみでよい。ここでLdistはMの異なる非ゼロ固有値の数であり、計算負荷を顕著に低減する。
• 固有系の解と補助系を用いて最適制御入力を再構成し、局所的または分散的実装を可能にする。
• Mの固有ベクトルを用いて状態および制御の射影を定義することで、動的およびコスト関数の両方で分解を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合行列のスペクトル特性に基づいて、ネットワーク結合型サブシステムの最適制御が低次元問題に分解可能か？
• RQ2 結合行列の異なる非ゼロ固有値の数が、最適制御合成の複雑性を決定するのか、それともネットワークサイズか？
• RQ3 非一様なネットワーク結合に対して、正確な最適制御則を局所的または分散的に合成・実装可能か？
• RQ4 大規模ネットワークにおいて、本手法の計算複雑性は集中型リッカチ解法と比べてどのように異なるか？
• RQ5 重複固有値の影響は、必要なリッカチ方程式の数および全体のスケーラビリティにどのような影響を及けるか？

主な発見

• 最適制御問題は、結合行列の異なる非ゼロ固有値の数Ldistに応じて、最大でもLdist + 1個の独立したdx×dxリッカチ方程式に低次元化される。
• ラプラシアン結合を有する20個の調和振動子からなるネットワークでは、中央集中型解（20×20）と比較して、6個のリッカチ方程式（5つの異なる非ゼロ固有値 + 1つの補助）で十分である。
• 平均場結合（完全グラフ）の場合は、平均状態のための1つのリッカチ方程式と、偏差のための1つが得られ、既知の結果と一致するが、一般化されたスペクトルフレームワークを介して導出される。
• 零空間のための補助リッカチ方程式は、ラプラシアンの場合に見られるように、しばしばゼロ解（˘P(t) = 0）を示し、実装を簡素化する。
• 本手法は顕著な計算負荷の削減を達成する。Ldist ≪ nの場合、複雑性はO(n²dx²)からO(Ldist dx²)に低下し、大規模ネットワークへのスケーラビリティを実現する。
• 本手法は、近隣情報と射影状態のみを用いて、局所的または分散的実装を可能とし、大規模システムへの実用的導入を可能にする。