[論文レビュー] Optimal estimation of some random quantities of a Lévy process

Jevgeņijs Ivanovs, Mark Podolskij|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2020

Probability and Risk Models参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高頻度観測に基づき、Lévy過程の主要な関数的要素（上界、下界、局所時刻、滞在時間測度など）に対する条件付き最適推定量——特に条件付き平均および中央値——を提案する。これらの推定量は、自己相似性および正則性の仮定の下で、古典的手法よりも高い漸近的効率性を達成しており、上界については $n^{-1/2}$、滞在時間測度については $n^{-3/4}$ の収束速度を達成する。

ABSTRACT

In this paper we present new theoretical results on optimal estimation of certain random quantities based on high frequency observations of a Lévy process. More specifically, we investigate the asymptotic theory for the conditional mean and conditional median estimators of the supremum/infimum of a linear Brownian motion and a stable Lévy process. Another contribution of our article is the conditional mean estimation of the local time and the occupation time measure of a linear Brownian motion. We demonstrate that the new estimators are considerably more efficient compared to the classical estimators. Furthermore, we discuss pre-estimation of the parameters of the underlying models, which is required for practical implementation of the proposed statistics.

研究の動機と目的

• Lévy過程の確率的関数的要素に関する高頻度統計における最適性理論の欠如を解決すること。
• 線形ブラウン運動および安定Lévy過程の上界、下界、局所時刻、滞在時間測度に対する漸近的に効率的な推定量を開発すること。
• 古典的手法（例：観測値の最大値）が収束速度において最適であるが、漸近的に非効率的であることを確立すること。
• 提案された統計量の実用的実装に必要なモデルパラメータの事前推定フレームワークを提供すること。
• 安定過程における正のまま保たれるように条件づける理論的結果を拡張し、抜ける確率に関する一様な上限を導出すること。

提案手法

• 二階モーメントが有限である場合、$\mathbb{E}[Q^2] < \infty$ であれば、条件付き平均 $\mathbb{E}[Q \mid (X_{i/n})_{i=0}^n]$ が $L^2$-予測において最適であり、絶対値の期待値が有限である場合、$\mathbb{E}[|Q|] < \infty$ であれば、条件付き中央値 $\text{med}[Q \mid (X_{i/n})_{i=0}^n]$ が $L^1$-予測において最適である。
• Lévy過程が正のまま保たれるように条件づけられた分布を特徴付けるために、$h$-変換およびドーブの $h$-変換表現を適用する。
• 安定Lévy過程の自己相似性およびスケーリング特性を用いて、条件づけられた下での上界および下界の尾確率に対する一様な上限を導出する。
• 観測頻度の増加に伴う条件付き分布の収束を分析することで、条件付き推定量の弱収束定理を導出する。
• Feller過程の表現 $X^\uparrow$ を、過程 $X$ が正のまま保たれるように条件づけた過程として用い、$\mathbb{P}^\uparrow_x(\sup_{h\in[0,1]}|X_{1+h}-X_h| > v)$ に対する上限を導出する。
• Lévy密度の正則変動および漸近的解析を用いて、抜ける確率および上界分布の尾挙動を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy過程の上界および下界の条件付き平均および中央値推定量は、古典的手法（例：高頻度観測の最大値）よりも高い漸近的効率性を達成できるか？
• RQ2 線形ブラウン運動の局所時刻および滞在時間測度を高頻度観測から推定する際の最適収束速度は何か？
• RQ3 高頻度サンプリング下での条件付き推定量の漸近的分布はどのように振る舞い、その極限定理は何か？
• RQ4 安定Lévy過程が正のまま保たれるように条件づけられた場合、上界および下界の尾確率に対する一様な上限は何か？
• RQ5 提案された条件付き推定量の実用的実装を可能にするために、モデルパラメータをどのように事前推定できるか？

主な発見

• 線形ブラウン運動および安定Lévy過程の上界および下界に対する条件付き平均および中央値推定量は、高頻度観測に基づく最大値に依存する古典的手法よりも漸近的により効率的である。
• 安定Lévy過程の上界に関しては、提案された推定量が最適な収束速度 $n^{-1/2}$ を達成しており、古典的手法と同等の速度を示すが、より高い効率性を有する。
• 滞在時間測度に関しては、提案された推定量が最適な収束速度 $n^{-3/4}$ を達成しており、[38]の結果と整合的であるが、条件づけによって効率性が向上している。
• 本稿では、$x > v > 0$ に対して、一様な上限 $\mathbb{P}^\uparrow_x(\sup_{h\in[0,1]}|X_{1+h}-X_h| > v) \leq c v^{-\alpha}$ を確立し、条件づけられた過程が重尾の増分を持つことを示している。ここで $\alpha \in (0,2)$ は安定指数である。
• $Q$ の二階モーメントが無限大であっても、条件付き中央値推定量は $L^1$-意味で最適であるため、より広いクラスの関数的要素に適用可能である。
• 結果は局所時刻および滞在時間測度に対しても拡張可能であり、本稿では、文献に既存のカーネル推定量やリーマン和に基づく推定量よりも、条件付き平均推定量がより効率的であることが示されている。