[論文レビュー] Optimal $\mathcal{L}_2$ discrepancy bounds for higher order digital sequences over the finite field $\mathbb{F}_2$

Josef Dick, Friedrich Pillichshammer|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2012

Mathematical Approximation and Integration参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限体 𝔽₂ 上の高次デジタル列の明示的構成を提示し、無限列および有限点集合の両方において、最適な 𝒪(N⁻¹(log N)^(s/2)) 𝒪(N⁻¹(log N)^{(s-1)/2}) の不偏誤差境界を達成する。これらの境界は、既知の下界と一致する。結果はデジタルネット理論、インタリースリング技法、およびワルシュ空間における指数和の精密な解析を用いて得られ、任意の次元 s において 𝒪₂ 不偏誤差の最良の収束速度を達成する最初の明示的構成を確立する。

ABSTRACT

We show that the $\mathcal{L}_2$ discrepancy of the explicitly constructed infinite sequences of points $(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,...)$ in $[0,1)^s$ over $\mathbb{F}_2$ introduced in [J. Dick, Walsh spaces containing smooth functions and quasi-Monte Carlo rules of arbitrary high order. SIAM J. Numer. Anal., {\bf 46}, 1519--1553, 2008] satisfy $$\mathcal{L}_{2,N}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,..., \boldsymbol{x}_{N-1}\}) \le C_s N^{-1} (\log N)^{s/2} \quad {for all} N \ge 2,$$ and $$\mathcal{L}_{2,2^m}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,..., \boldsymbol{x}_{2^m-1}\}) \le C_s 2^{-m} m^{(s-1)/2} \quad {for all} m \ge 1,$$ where $C_s > 0$ is a constant independent of $N$ and $m$. These results are best possible by lower bounds in [P.D. Proinov, On the $L^2$ discrepancy of some infinite sequences. Serdica, {\bf 11}, 3--12, 1985] and [K. F. Roth, On irregularities of distribution. Mathematika, {\bf 1}, 73--79, 1954]. Further, for every $N \ge 2$ we explicitly construct finite point sets $\{\boldsymbol{y}_0,..., \boldsymbol{y}_{N-1}\}$ in $[0,1)^s$ such that $$\mathcal{L}_{2,N}(\{\boldsymbol{y}_0,\boldsymbol{y}_1,..., \boldsymbol{y}_{N-1}\}) \le C_s N^{-1} (\log N)^{(s-1)/2}.$$ Another solution for finite point sets by a different construction was previously shown in [W. W. L. Chen and M. M. Skriganov, Explicit constructions in the classical mean squares problem in irregularity of point distribution. J. Reine Angew. Math., {\bf 545}, 67--95, 2002].

研究の動機と目的

• 高次元における最良の 𝒪₂ 不偏誤差を有する点集合の存在証明と明示的構成の間の長年のギャップを埋めること。
• 以前に予想されていた 𝒪₂ 不偏誤差の最良のオーダーが、明示的かつ構築可能な列によって達成可能であることを証明すること。
• デジタルネットおよび列の理論を拡張し、任意の次元 s において最良の不偏誤差境界を達成する 𝔽₂ 上の高次デジタル列を構築すること。
• ロス（1954）およびプロイノフ（1985）によって確立された下界と一致する構成的証明を提供し、無限列における (log N)^{s/2}/N および有限集合における (log N)^{(s-1)/2}/N のレートの最適性を確認すること。

提案手法

• ワルシュ空間の性質に基づく明示的な生成行列を用いて、𝔽₂ 上の無限高次デジタル列を構成する。
• 桁のインタリースリング合成を適用し、低次のネットを高次デジタルネットに変換することで、不偏誤差特性を向上させる。
• パーソヴァルの恒等式および直交性関係を用いて、ワルシュ空間における指数和の推定値を不偏誤差に束縛する。
• デジタルネットおよびその双対の構造を活用し、局所的不偏誤差関数の L² ノルムを介して不偏誤差を分析する。
• 不偏誤差の境界を dyadic 開区間および指数和の和に還元し、係数の減衰性質を用いて推定する。
• チェンとスクリガノフ（2002）の技術を有限点集合に適応し、スケーリングおよび切り捨てを用いて任意の N に対する境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の N ≥ 2 および s ≥ 1 に対して、[0,1)^s 内の点集合の明示的構成が、最良の 𝒪₂ 不偏誤差レート (log N)^{(s-1)/2}/N を達成できるか？
• RQ2 𝔽₂ 上の高次デジタル列は、無限列において最良の 𝒪₂ 不偏誤差境界のオーダー (log N)^{s/2}/N を達成できるか？これはプロイノフの下界と一致する。
• RQ3 𝔽₂ 上の決定的かつ明示的な方法を用いて、有限点集合の 𝒪₂ 不偏誤差を O(N⁻¹(log N)^{(s-1)/2}) に抑えることは可能か？
• RQ4 1つの構成により、2のべきでない任意の N に対しても、高次デジタル列の不偏誤差を一様に束縛できるか？
• RQ5 構築された列は、無限列および有限点集合の両方において既知の下界と一致し、最適性が確認できるか？

主な発見

• 構築された無限列の 𝒪₂ 不偏誤差は、すべての N ≥ 2 に対して 𝒪₂,N ≤ C_s N⁻¹ (log N)^{s/2} を満たし、プロイノフの下界と一致する。
• N = 2^m という2進長さの場合、不偏誤差境界は 𝒪₂,2^m ≤ C_s 2^{-m} m^{(s-1)/2} に改善され、2進ケースにおける最適性が確認される。
• すべての N ≥ 2 に対して、明示的なサイズ N の有限点集合が構築され、𝒪₂,N ≤ C_s N⁻¹ (log N)^{(s-1)/2} を満たし、最高の既知のレートを達成する。
• 構成は、桁のインタリースリングおよび 𝔽₂ 上の高次デジタルネットの性質を用いて、均等分布および最良の不偏誤差を保証する。
• 結果は、𝒪₂ 不偏誤差の予想される最良の収束速度が、明示的かつ決定論的な構成によって達成可能であることを確認する。
• 解析により、不偏誤差境界が次元に依存する定数の範囲でタイトであることが示され、ロスおよびプロイノフの既知の下界と一致する。