[論文レビュー] Optimal order of $L_p$-discrepancy of digit shifted Hammersley point sets in dimension 2

Aicke Hinrichs, Ralph Kritzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、2次元における桁シフトおよび対称化されたハマーイ・ポイント集合が、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して最適な $ L_p $-不均一性の順序 $ \sqrt{\log N}/N $ を達成することを示しており、これらの古典的ポイント集合の不均一性挙動に関する長年の未解決問題を解決している。著者は、複雑な関数空間埋め込みを避けるためにリトルウッド＝ペイリー理論を用いた直接的証明を提供し、両方の変更がすべての $ L_p $ ノルムにおいて最良の収束速度を同時に達成することを示している。

ABSTRACT

It is well known that the two-dimensional Hammersley point set consisting of $N=2^n$ elements (also known as Roth net) does not have optimal order of $L_p$-discrepancy for $p \in (1,\infty)$ in the sense of the lower bounds according to Roth (for $p \in [2,\infty)$) and Schmidt (for $p \in (1,2)$). On the other hand, it is also known that slight modifications of the Hammersley point set can lead to the optimal order $\sqrt{\log N}/N$ of $L_2$-discrepancy, where $N$ is the number of points. Among these are for example digit shifts or the symmetrization. In this paper we show that these modified Hammersley point sets also achieve optimal order of $L_p$-discrepancy for all $p \in (1,\infty)$.

研究の動機と目的

• 桁シフトおよび対称化されたハマーイ・ポイント集合が、2次元においてすべての $ p \in (1,\infty) $ に対して最適な $ L_p $-不均一性の順序を達成するかどうかを特定すること。
• 上記の変更を加えたポイント集合に対して、高階関数空間埋め込みに依存しない直接的証明を提供すること。
• 両方の変更が、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して同一の最適収束速度 $ \sqrt{\log N}/N $ を同時に達成することを示すこと。
• 既存の構成（例えば、スクリガノフおよびゴダのもの）と比較し、一般性および $ L_p $-ノルムにおける最適性の観点から評価すること。

提案手法

• 著者は、古典的な2次元ハマーイ集合 $\mathcal{R}_n$ から、桁シフトおよび反転操作を施して得られる桁シフトハマーイ・ポイント集合 $\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}$ および対称化バージョン $\widetilde{\mathcal{R}}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}$ を分析する。
• 彼らは、局所的不均一性関数の $ L_p $-ノルムを評価するための中心的分析的道具としてリトルウッド＝ペイリー理論を用い、ベゾフ空間やトライベル＝リゾルキン空間への依存を避ける直接的推定を可能にしている。
• 証明は、変更前後のポイント集合の不均一性関数の差を、変換によって高々1点しかボックス境界を crosses しないという事実から導かれる不等式 $|D_N(\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}, \mathbf{t}) - D_N(\widetilde{\mathcal{R}}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}, \mathbf{t})| \leq 1/2^{n+1}$ を用いて行う。
• その後、三角不等式および定数 $1/2^{n+1}$ の $ L_p $-有界性を用いて $ L_p $-ノルムを推定し、変更済み集合と元の集合のノルムの差が $ 1/N $ のオーダーであることを導出する。
• 著者は、変更済み集合の $ L_p $-不均一性がすべての $ p \in (1,\infty) $ に対して $ L_{p,N}(\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}) \asymp \sqrt{\log N}/N $ を満たすことを確立し、ロスおよびシュミットによる下界と一致することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元における桁シフトハマーイ・ポイント集合は、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して最適な $ L_p $-不均一性の順序を達成するか？
• RQ2 ハマーイ集合の対称化により最適な $ L_p $-不均一性の順序が達成可能であり、かつすべての $ p \in (1,\infty) $ に対して一様に成り立つか？
• RQ3 関数空間埋め込みやハール係数計算を避けることのできる、これらの変更に対する最適 $ L_p $-不均一性の直接的証明は可能か？
• RQ4 桁シフトおよび対称化されたハマーイ・ポイント集合の不均一性特性は、他の既知の構成と比較して、$ L_p $-ノルムの最適性においてどのように異なるか？

主な発見

• 桁シフトハマーイ・ポイント集合は、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して最適な $ L_p $-不均一性の順序 $ \sqrt{\log N}/N $ を達成しており、ロスおよびシュミットによって確立された下界と一致する。
• 対称化された桁シフトハマーイ・ポイント集合も、すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して最適な $ L_p $-不均一性の順序 $ \sqrt{\log N}/N $ を達成し、すべての $ p $ に対して同一の収束速度を示す。
• 元の集合と変更済み集合の間の $ L_p $-不均一性の差は $ 1/N $ で有界であり、変更によって漸近的順序が保たれることを保証する。
• 証明は直接的かつ自己完結的であり、リトルウッド＝ペイリー理論を用いており、先行研究で用いられる高階関数空間埋め込みやハール係数解析の必要がない。
• この結果は、両方の変更がすべての $ p \in (1,\infty) $ に対して同時に最適な不均一性を達成することを示しており、一部の他の構成とは異なり $ p $ に依存しない。
• これらの発見は、変更済みハマーイ・ポイント集合の $ L_p $-不均一性が $ \sqrt{\log N}/N $ の速度で収束することを確認しており、2次元ポイント集合における $ L_p $-意味で最良の可能性である。