[論文レビュー] Optimal Parisian-type dividends payments discounted by the number of claims for the perturbed classical risk process

Irmina Czarna, Yanhong Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Probability and Risk Models参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、パリジアン破綻と件数に依存する割引率を組み込んだ摂動付き古典的リスク過程における最適配当戦略を研究する。バリア戦略下での価値関数を特徴づけ、最適性の十分条件を導出し、指数分布に従う破綻額に対して明示的な解を提示。パリジアン遅延の下で最適バリアがシフトすることが示された。

ABSTRACT

In this paper we consider a classical risk process perturbed by a Brownian motion. We analyze the value function describing the mean of the cumulative discounted dividend payments paid up to Parisian ruin time and further discounted by the number of claims appeared up to this ruin time. We identify this value function for the barrier strategy and find the sufficient conditions for this strategy to be optimal. We also consider few particular examples.

研究の動機と目的

• ブラウン運動による摂動を伴うリスク過程における配当支払いをモデル化し、パリジアン破綻と件数に依存する割引率を統合する。
• 累積割引配当の価値関数を、破綻までの保険金支払い件数による重み付けを加えて、パリジアン破綻までの累積的割引配当として分析する。
• 十分な条件下でバリア戦略が最適であることを特定し、古典的結果をより現実的な破綻および割引枠組みへと拡張する。
• 破綿額が指数分布に従う場合の価値関数に対して明示的な解を提供する。
• 数値例およびHJB方程式の検証を通じて、バリア戦略の最適性を検証する。

提案手法

• 大規模な損害額を表す複合ポアソン過程と、微小な変動を表すブラウン運動を組み合わせた純損益過程を定式化する。
• パリジアン破綻を、純損益が連続的に $ d \geq 0 $ の期間、負の状態に留まる最初の時刻として定義する。これは古典的破綻（$ d = 0 $）を一般化する。
• 破綿までの保険金支払い件数 $ N_{\tau^{\pi,d}} $ を用いて、累積配当を $ r^{N_{\tau^{\pi,d}}} $ で割引く価値関数を導入する。
• バリア戦略の最適性に必要な条件を導出するために、ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式の枠組みを適用する。
• 指数分布に従う破綿額の場合の価値関数を解くために、積分変換および再帰的畳み込み技術を用いる。
• 数値的検証として、最適に導出されたバリアレベルの妥当性を確認するため、$ (\Gamma - q)v \leq 0 $ をチェックする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動付き古典的リスクモデルにパリジアン破綿を導入すると、最適配当戦略にどのような影響を与えるか？
• RQ2 破綿までの保険金支払い件数による割引が、最適戦略および価値関数に与える影響は何か？
• RQ3 パリジアン破綿と件数に依存する割引率を両方考慮した場合、どのような条件下でバリア戦略が最適となるか？
• RQ4 パリジアン遅延パラメータ $ d $ が最適バリアレベルに与える影響は何か？
• RQ5 破綿額が指数分布に従う場合、価値関数に対して明示的な解を導出できるか？

主な発見

• バリア戦略下での価値関数は、$ d = 0 $（古典的破綿）および $ d > 0 $（パリジアン破綿）の両方について明示的に導出された。
• 指数分布に従う破綿額の場合、価値関数の成分 $ \vartheta(x) $ および $ \varrho(x) $ は、修正ベッセル関数および指数積分を含む無限級数で表現される。
• パrameterセット $ \lambda = 10, \mu = 1, c = 15, q = 0.1, r = 0.8 $ の下で、$ d = 0 $ の最適バリアは $ a^* \approx 0.7693 $、$ d = 2 $ の最適バリアは $ b^* \approx 0.52202 $ であると数値的に求められた。
• 両方の最適バリア $ a^* $ および $ b^* $ に対して、$ (\Gamma - q)v \leq 0 $ の条件が満たされており、HJB検証定理により最適性が確認された。
• 件数に依存する割引の導入により、古典的モデルと比較して最適バリアレベルが低下し、高頻度の保険金支払いに対するペナルティが強調されている。
• 数値的結果により、実務的リスク管理への実装可能性が確認された。