[論文レビュー] Optimal robust bounds for variance options

Alexander M. G. Cox, Jiajie Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スコロホド埋め込み問題の解を用いて、モデルに依存しない最良の上限を、特にロストおよびチョアックの構成を活用して、分散オプションの価格に対して確立する。これらの上限の最適性を証明し、モデルの不確実性に対して頑健なスーパーヘッジ戦略を導出する。数値計算手法を提示し、Heston-Nandi モデルが長期満期において漸近的に極端な性質を示すことを示す。

ABSTRACT

Robust, or model-independent properties of the variance swap are well-known, and date back to Dupire and Neuberger, who showed that, given the price of co-terminal call options, the price of a variance swap was exactly specified under the assumption that the price process is continuous. In Cox and Wang we showed that a lower bound on the price of a variance call could be established using a solution to the Skorokhod embedding problem due to Root. In this paper, we provide a construction, and a proof of optimality of the upper bound, using results of Rost and Chacon, and show how this proof can be used to determine a super-hedging strategy which is model-independent. In addition, we outline how the hedging strategy may be computed numerically. Using these methods, we also show that the Heston-Nandi model is 'asymptotically extreme' in the sense that, for large maturities, the Heston-Nandi model gives prices for variance call options which are approximately the lowest values consistent with the same call price data.

研究の動機と目的

• 確率過程と埋め込み技術を用いて、モデルに依存しない分散コールオプションの最良の上界を導出すること。
• スコロホド埋め込み問題に対するロストおよびチョアックの解に基づく厳密な数学的構成を通じて、これらの境界の最適性を確立すること。
• 下流の分布の不確実性に対して頑健である、モデルに依存しないスーパーヘッジ戦略を、分散オプションに対して開発すること。
• 導出された境界を用いて、ヘッジ戦略を数値的に実装する方法を提示すること。
• Heston-Nandi モデルの漸近的挙動を、導出されたロバスト境界と関連づけ、長期満期において下限に近づくことを示すこと。

提案手法

• スコロホド埋め込み問題に対するロストおよびチョアックの解を用いて、与えられた周辺分布と一致する拡散過程を構築し、分散オプション価格の上界を達成する。
• 局所時刻およびスケール関数の理論を適用して、構築された拡散の境界挙動を特徴づけ、プロセスが満期にターゲット分布に到達することを保証する。
• 最適埋め込みに基づくスーパーヘッジ戦略を導出し、基礎資産の特定のモデルを仮定せずに、分散オプションのペイオフを再現する。
• 最適停止境界の離散化と関連する拡散経路のシミュレーションを通じて、ヘッジ戦略の数値的計算スキームを採用する。
• スコロホド埋め込みと分散オプションの価格設定の間の双対性を用いて、アービタージュと連続性の仮定の下でタイトな境界を確立する。
• 境界の最適性を検証するため、与えられたコールオプション価格や価格プロセスの連続性を破るような改善は不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続な価格プロセスであり、かつコールオプションのコーターミナル価格のみが与えられている状況下で、分散コールオプションの価格に対する最もタイトな上界は何か？
• RQ2 最適停止と拡散埋め込みを用いて、モデルに依存しないスーパーヘッジ戦略を、分散オプションに対してどのように構築できるか？
• RQ3 Heston-Nandi モデルが、長期満期において、同じコール価格データを満たすすべてのモデルの中で、最も低い分散オプション価格に漸近的に到達することを示せるか？
• RQ4 スコロホド埋め込み問題に対するロストおよびチョアックの解は、分散デリバティブの最適境界を導出する上で果たす役割は何か？
• RQ5 理論的構成が与えられたとしても、実際の数値計算において最適ヘッジ戦略をどのように実装できるか？

主な発見

• 分散コールオプションの価格に対する上界は最適であり、スコロホド埋め込み問題に対するロストおよびチョアックの解を用いて構築された拡散過程によって達成可能である。
• 導出されたスーパーヘッジ戦略はモデルに依存せず、観察されたコールオプション価格と整合する任意の連続な価格プロセスに対して、分散オプションのペイオフを再現する。
• Heston-Nandi モデルは、長期満期において、最も低い可能な分散オプション価格に漸近的に到達し、同じコールデータを満たすすべてのモデルの中で「漸近的に極端」である。
• 最適境界はタイトであり、与えられたアービタージュ条件や価格プロセスの連続性を破るような改善は不可能である。
• 最適停止境界の離散化と関連する拡散経路のシミュレーションにより、ヘッジ戦略の数値的計算が実用可能である。