[論文レビュー] Optimal simplex finite-element approximations of arbitrary order in curved domains circumventing the isoparametric technique

Vitoriano Ruas|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、等参要素を用いず、曲がった領域において最適な近似次数を達成する新しい有限要素法を提案する。直線メッシュ上での多項式補間と、幾何的射影による境界ノードの定義により、最適な収束率を維持するとともに、正確な積分と任意の次数のラグランジュ要素に対する実装の簡素化を実現する。2次元および3次元領域における高次元の有限要素法に適している。

ABSTRACT

Since the 1960's the finite element method emerged as a powerful tool for the numerical simulation of countless physical phenomena or processes in applied sciences. One of the reasons for this undeniable success is the great versatility of the finite-element approach to deal with different types of geometries. This is particularly true of problems posed in curved domains of arbitrary shape. In the case of function-value Dirichlet conditions prescribed on curvilinear boundaries method's isoparametric version for meshes consisting of curved triangles or tetrahedra has been mostly employed to recover the optimal approximation properties known to hold for standard straight-edged elements in the case of polygonal or polyhedral domains. However, besides obvious algebraic and geometric inconveniences, the isoparametric technique is helplessly limited in scope and simplicity, since its extension to degrees of freedom other than function values is not straightforward if not unknown. The purpose of this paper is to propose, study and test a simple alternative that bypasses all the above drawbacks, without eroding qualitative approximation properties. More specifically this technique can do without curved elements and is based only on polynomial algebra. REMARKS : First submission (dated Jan. 3, 2017) updated on Jan. 11, 2017 with the addition of a footnote on author's research grant. A third version with several improvements was posted on Nov. 2, 2017. The fourth version incorporated some findings during the revision of a related paper. In the fifth version, besides minor changes, the convection-diffusion equation became the model problem; the text was reviewed in order to highlight the advantages of the new approach over classical techniques, more particularly by means of additional numerical examples.

研究の動機と目的

• 等参有限要素法の制限、特に有理関数の積分の複雑さと、関数値でない自由度への拡張の難しさを克服すること。
• 任意の次数のラグランジュ要素に対して、2次元および3次元の曲がった領域で最適な収束率を保ちつつ、実装が簡単な代替手法を開発すること。
• 曲がった要素や複雑な幾何変換を必要とせず、特に法線成分や微分が自由度である問題においても最適な近似を実現すること。
• 正確な数値積分を可能にするフレームワークを提供し、境界ノードの配置による精度損失を回避すること。
• 高次元有限要素法の適用範囲を、安定性や収束性を損なわず、複雑な幾何形状へと拡張すること。

提案手法

• 曲がった領域において直線N単体メッシュ（三角形／四面体）を用い、等参写像を避けるために、境界ノードを幾何的射影により定義する。
• 境界自由度は、二面角の平面二等分面によって定義されるスキン領域内の辺ノードから垂線を引いた交点として、真の曲がった境界上に配置された補間点によって強制する。
• 境界面上に面を持つ各要素に対して、元の要素とメッシュ面と真の境界の間の領域の和集合として、概念的に曲がった要素を定義する。これにより、一貫性のあるノード配置が可能になる。
• 関数空間 $ W_h $ は、直線要素上のラグランジュノードと、曲がった境界上の射影ノードを用いて構築され、2次元では連続性・適合性、3次元では準適合性を保証する。
• ガラーキン法は、標準FEMと同一の変分構造を用いるが、真の境界上でディリクレ条件を強制するために補間点を修正する。
• すべての被積分関数が多項式のまま保たれるため、直線要素と多項式補間の使用により、正確な積分が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等参要素を用いず、曲がった領域において最適な収束率を達成できるか？
• RQ2 直線要素と多項式代数のみを用いて、曲がった境界上にディリクレ境界条件をどのように強制できるか？
• RQ3 実装を簡素化し、正確な積分を可能にしつつ、最適な近似性質を維持できるか？
• RQ4 境界ノードの配置が、高次元有限要素法における収束率に与える影響は何か？
• RQ5 この手法は3次元問題および混合有限要素法の定式化へと拡張可能か？

主な発見

• 提案手法は、任意の次数のラグランジュ有限要素法が曲がった領域でエネルギーノルムにおいて最適な収束率を達成し、等参法と同等の性能を示す。
• 2次元では、最適な $ L^2 $-誤差推定が保証され、著者らの知る限り、このクラスの問題に対しては前例のない成果である。
• すべての被積分関数が多項式のまま保たれるため、剛性行列の正確な数値積分が可能であり、等参法に内在する数値積分誤差を回避できる。
• 2次元および3次元の両方で、曲がった要素や複雑な幾何変換を必要とせず、実装が簡単で、頑健である。
• 関数値でない自由度（例：法線成分、法線微分）を含む問題へ自然に拡張可能であり、等参法では定義が困難または不可能な場合が多い。
• 2次元および3次元において、離散問題の存在・一意性および一様安定性に関する理論的結果が確立され、誤差推定は3次元へ一般化可能であるが、技術的複雑性が増加する。