[論文レビュー] Optimal space of linear classical observables for Maxwell $k$-forms via spacelike and timelike compact de Rham cohomologies

Marco Benini|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、時空の曲がりを考慮した場合の Maxwell $k$-形式の最適な線形古典的観測可能量の空間を、空間的および時間的コンパクトな de Rham コホロロジーを導入することで確立する。これらのコホロロジーに対して Poincaré双対性の類似を証明し、場の配置の分離可能性と観測可能量の重複なしを保証することで、ゲージ理論における一貫した古典的および量子場理論の枠組みを実現する。

ABSTRACT

Being motivated by open questions in gauge field theories, we consider non-standard de Rham cohomology groups for timelike compact and spacelike compact support systems. These cohomology groups are shown to be isomorphic respectively to the usual de Rham cohomology of a spacelike Cauchy surface and its counterpart with compact support. Furthermore, an analog of the usual Poincaré duality for de Rham cohomology is shown to hold for the case with non-standard supports as well. We apply these results to find optimal spaces of linear observables for analogs of arbitrary degree $k$ of both the vector potential and the Faraday tensor. The term optimal has to be intended in the following sense: The spaces of linear observables we consider distinguish between different configurations; in addition to that, there are no redundant observables. This last point in particular heavily relies on the analog of Poincaré duality for the new cohomology groups.

研究の動機と目的

• 曲がった時空におけるゲージ理論の古典的観測可能量を定義する際の曖昧さを解消すること、特に標準的なコホロロジー構造が分離可能性や非重複性を保証できない場合に焦点を当てる。
• 従来の古典的観測可能量のアプローチにおいて非重複性が明示的に考慮されていないという欠落を是正すること。
• 物理的に異なるオンシェル配置をすべて区別できる最適な線形汎関数の空間を特定すること。
• 標準的なベクトルポテンシャルやファラデー張力の枠を超えて、任意の次数 $k$-形式へと古典的観測可能量の構成を一般化すること。
• 空間的および時間的コンパクトなサポートを持つ非標準的サポートを持つ新しいコホロロジー群を導入することで、古典的および量子場理論のコホロロジー的基盤を提供すること。

提案手法

• 空間的コンパクト de Rham コホロロジーと時間的コンパクト de Rham コホロロジーの2つの新しいコホロロジー群を、特定のサポート条件を持つ微分形式によって定義する。
• 空間的コンパクトコホロロジーが、空間的コーシー面の標準 de Rham コホロロジーと同型であることを証明する。また、時間的コンパクトコホロロジーが、同じコーシー面のcompactly supported de Rham コホロロジーと同型であることを証明する。
• これらの非標準的コホロロジー群に対して一般化された Poincaré 双対性を確立し、空間的および時間的コンパクトサポートを持つコホロロジーを結びつける。
• 双対性を用いて、ファラデー張力の $k$-形式一般化およびベクトルポテンシャルの線形観測可能量の空間を分析する。
• グリーン作用素とホッジ分解の技法を用いて、場の運動方程式の解とコホロロジー類の関係を確立し、観測可能量がオンシェル配置上で適切に定義されることを保証する。
• 結果として得られる観測可能量の空間が最適であることを証明し、物理的に異なる配置を区別できる分離可能性と、重複する観測可能量がない非重複性の両方を満たしていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空における Maxwell $k$-形式に対して、分離可能性と非重複性の両方を満たす最適な線形古典的観測可能量の空間を定義できるか？
• RQ2 空間的および時間的コンパクト de Rham コホロロジーは、標準 de Rham コホロロジーおよびそのコンパクトに台を持つバージョンとどのように関係しているか？
• RQ3 空間的または時間的コンパクト性といった非標準的サポートを持つコホロロジー群に対して、Poincaré 双対性の類似が成立するか？
• RQ4 これらのコホロロジー構造を用いることで、$k$-形式ポテンシャルのオンシェル配置上のゲージ不変線形汎関数の空間に重複する要素が存在しないか？
• RQ5 電磁気学（$k=1$）を超えて、任意の $k$-形式へと古典的観測可能量の構成を一般化できるか？ その際、物理的整合性を保ったままか？

主な発見

• 時空の空間的コンパクト de Rham コホロロジーは、空間的コーシー面の標準 de Rham コホロロジーと同型である。
• 時間的コンパクト de Rham コホロロジーは、同じコーシー面のコンパクトに台を持つ de Rham コホロロジーと同型である。
• 新しいコホロロジー群に対して Poincaré 双対性の類似が成立し、空間的および時間的コンパクトサポートを持つコホロロジーを結びつける。
• $k$-形式一般化されたファラデー張力に対しては、場の強度が閉じているため、場の配置の分離可能性は自明に満たされる。
• $k$-形式ベクトルポテンシャルに対しては、新しいコホロロジー群間の一般化された Poincaré 双対性から分離可能性が導かれる。
• コホロロジー群と双対性構造の同型性により、観測可能量の非重複性が保証され、2つの異なる配置が同一の観測可能量値をもたらすことはない。