[論文レビュー] Optimal Stopping for Strong Markov Processes: Explicit solutions and verification theorems for diffusions, multidimensional diffusions, and jump-processes

Fabián Crocce|Americanae (AECID Library)|May 29, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、拡散過程、多次元拡散過程、ジャンプ過程を含む強マルコフ過程における最適停止問題の明示的解および検証定理を構築する。Dynkinの価値関数を報酬関数を支配する最小のα過剰関数として特徴づける定式化と、Salminenのグリーン核によるリース表現を組み合わせることで、1次元拡散過程、ジャンプ過程（非レヴィ過程を含む）、多次元拡散過程について解析的および数値的解法を可能にし、アメリカン・プット・オプションやレヴィ駆動型オーランシュタイン＝ウーレンボルグ過程への応用を含む。

ABSTRACT

We consider the optimal stopping problem consisting in, given a strong Markov process, a reward function and a discount rate, finding the stopping time such that the expected reward at the stopping time is maximum. The approach we follow, has two main components: the Dynkin's characterization of the value function as the smallest excessive function dominating the reward; and the Riesz representation of excessive functions in terms of the Green kernel, the main reference being Salminen 85. In the context of one-dimensional diffusions we give a complete characterization of the solution under some assumptions on the reward function. If the optimal stopping problem is a ray, we provide a simple equation to find the boundary and discuss the validity of the smooth fit principle. We include some new examples as the optimal stopping of the skew Brownian motion and the sticky Brownian motion. In particular, we consider cases in which the smooth fit principle fails. In the general case, we propose an algorithm that finds the optimal stopping region when it is a disjoint union of intervals. We also give a simple formula for the value function. Using this algorithm we solve some examples including polynomial rewards. For general Markov processes with continuous sample paths (for instance multidimensional diffusions) we provide a verification theorem and use it to solve a particular problem. Finally we consider one-dimensional strong Markov processes with only positive (or only negative) jumps, and provide another verification theorem for right-sided (left-sided) problems. As applications of our results we address the problem of pricing an American put option in a Lévy market, and also solve an optimal stopping problem for a Lévy driven Ornstein-Uhlenbeck process.

研究の動機と目的

• 強マルコフ過程（拡散過程およびジャンプ過程を含む）における最適停止問題の明示的解を提供すること。
• 1次元拡散過程、多次元拡散過程、片側ジャンプ過程（正または負のジャンプのみ）における検証定理の開発。
• レヴィ市場におけるアメリカン・プット・オプションや、レヴィ駆動型オーランシュタイン＝ウーレンボルグ過程における最適停止問題といった具体的な問題の解法。
• スムーズフィット原理の拡張および、その失敗する場合（歪およびスティッキー・ブラウン運動を含む）の分析。
• 最適停止領域が区間の非交和である場合に、それらを計算する一般の数値アルゴリズムの提案。

提案手法

• 価値関数が報酬関数gを支配する最小のα過剰関数であるというDynkinの特徴づけを用いる。
• α過剰関数をグリーン核Gα(x,y)を介して表現するSalminenのリース表現を適用する。
• 数値的逆数値を求めるために、グリーン核の特性関数のフーリエ変換を数値的に逆算するためのフーリエ法を用いる。
• 最適停止領域が区間の非交和である場合に、それらを特定する数値アルゴリズムを提案し、価値関数に対して閉形式の式を導出する。
• 1次元拡散過程および片側ジャンプ過程（正または負のジャンプのみ）における検証定理を導出する。
• 理論的枠組みを用いて具体的な問題を解き、オーランシュタイン＝ウーレンボルグ過程（ジャンプ付きおよびなし）を含み、数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適停止領域が片側である1次元拡散過程における最適停止問題の明示的解は何か？
• RQ2 歪またはスティッキー・ブラウン運動のような過程において、スムーズフィット原理が検証可能であるか、あるいは失敗するかはどのように確認できるか？
• RQ3 最適停止領域が区間の非交和である場合に、一般のアルゴリズムを構築できるか？
• RQ4 レヴィ駆動型オーランシュタイン＝ウーレンボルグ過程における最適停止の価値関数は何か？
• RQ5 グリーン関数は、検証および計算に用いるために、フーリエ逆変換を用いてどのように数値的に近似できるか？

主な発見

• ジャンプ付きオーランシュタイン＝ウーレンボルグ過程（α=1）において、最適停止閾値はx*=1.1442であり、グリーン核とフーリエ逆変換を用いた数値的計算により得られた。
• ジャンプなしの純粋なオーランシュタイン＝ウーレンボルグ過程（α=1）では、最適閾値はx*≈0.5939であり、Taylor（1968）の結果と整合的である。
• 本稿は、非レヴィジャンプ過程における最適停止問題の最初の既知の明示的解を提示しており、本手法の新規性を示している。
• 継続領域において、価値関数Vα(x)が報酬関数g(x)を厳密に上回ることを示し、検証定理の条件が満たされていることを確認した。
• 離散フーリエ変換を用いた数値的手法により、グリーン関数Gα(x,y)の精度の高い近似が得られ、価値関数の実用的計算が可能になった。
• 理論的結果により、スムーズフィット原理が失敗する場合があることが確認され、歪およびスティッキー・ブラウン運動を含む例でその有効性が示された。