[論文レビュー] Optimal Stopping under G-expectation

Hanwu Li|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ボラティリティの不確実性を特に含むキーニアン・アンビギュイティを扱うために、G-期待値下での最適停止理論を確立する。G-停止時刻を導入し、価値関数が報酬過程を支配する最小のG-上マルティンゲールであることを証明するとともに、反射G-BSDEと関連づけ、離散的・連続的・無限時間の枠組みへと結果を拡張し、最適停止時刻の存在を示している。

ABSTRACT

We develop a theory of optimal stopping problems under G-expectation framework. We first define a new kind of random times, called G-stopping times, which is suitable for this problem. For the discrete time case with finite horizon, the value function is defined backwardly and we show that it is the smallest G-supermartingale dominating the payoff process and the optimal stopping time exists. Then we extend this result both to the infinite horizon and to the continuous time case. We also establish the relation between the value function and solution of reflected BSDE driven by G-Brownian motion.

研究の動機と目的

• キーニアン・アンビギュイティ、特にボラティリティの不確実性をモデル化するため、G-期待値下での最適停止理論を構築すること。
• 時間の一貫性と条件付きG-期待値の性質を保つG-停止時刻と呼ばれる新しい確率的時刻のクラスを定義すること。
• 古典的な最適停止枠組み（価値関数が最小の上マルティンゲールである）を非線形Gフレームワークへと拡張すること。
• 価値関数とG・ブラウン運動に従う反射後向き確率微分方程式（BSDE）の解との間の関係を確立すること。
• 有限時間、無限時間、連続時間の設定において、最適停止時刻の存在を証明し、価値関数を特徴づけること。

提案手法

• G-期待値に適した停止時刻の一般化としてG-停止時刻を導入し、条件付きG-期待値が適切に定義されることを保証する。
• 離散的有限時間枠組みにおいて、価値関数を後向きに定義し、報酬過程を支配する最小のG-上マルティンゲールであることを示す。
• 有限時間枠組みの価値関数の極限として無限時間枠組みへの価値関数を拡張し、最小のG-上マルティンゲール性を保つ。
• 価値関数と下位の障害物を持つ反射G-BSDEの解との間の関係を確立し、解Yが障害物過程Xを支配するG-上マルティンゲールであることを示す。
• Hu, Ji, Peng, SongのG-BSDEおよび反射G-BSDEの存在・一意性理論を用いて、解構造を正当化する。
• Girsanov変換およびG-BSDEの比較定理を活用し、時間の一貫性と最適性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的停止時刻が準確に確率的可測性や条件付き期待値の問題により失敗する状況において、G-期待値下での最適停止をどのように定式化できるか？
• RQ2 Gフレームワークにおいて、時間の一貫性を保ち、後向き帰納法を可能にする停止時刻の適切な一般化とは何か？
• RQ3 古典的ケースと同様に、Gフレームワークにおける価値関数も、報酬過程を支配する最小のG-上マルティンゲールであるか？
• RQ4 価値関数は反射G-BSDEの解として特徴づけられるか？また、反射過程の最適性における役割は何か？
• RQ5 G-期待値下で、有限時間から無限時間および連続時間へと結果がどのように拡張されるか？

主な発見

• 離散的有限時間枠組みにおいて、価値関数は報酬過程を支配する最小のG-上マルティンゲールであり、後向き帰納法によって得られる。
• 無限時間枠組みにおいて、価値関数は有限時間枠組みの価値関数の極限として定義され、依然として報酬過程を支配する最小のG-上マルティンゲールの性質を保つ。
• 最適停止時刻は存在し、G-停止時刻として特定され、価値過程は停止時刻までG-マルティンゲールである。
• 価値関数は、障害物過程Xを持つ反射G-BSDEの解の第一成分Yと一致する。ここでYはXを支配するG-上マルティンゲールである。
• 生成子、障害物、終端条件に標準的な条件が課された場合、反射G-BSDEの解は存在し、一意である。Y ∈ S_G^α(0,T) が 2 ≤ α < β を満たす。
• ボラティリティの不確実性下でも、Gフレームワークにおいて価値関数の最小のG-上マルティンゲール性が保たれる。