[論文レビュー] Optimization of conditional convex risk measures

Tiexin Guo|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的関数解析を用いて、動的ポートフォリオ選択における条件付き凸リスク測度の最適化の存在および一意性条件を確立する。条件付き単調な平均・分散最適化に関しては、必要十分条件を提示し、有界リターン制約下での$L^0$–凸コンパクト性を用いて、条件付きエントロピックリスク測度の存在および一意性を証明する。

ABSTRACT

Optimization of conditional convex risk measure is a central theme in dynamic portfolio selection theory, which has not yet systematically studied in the previous literature perhaps since conditional convex risk measures are neither random strictly convex nor random coercive. The purpose of this paper is to give some basic results on the existence and uniqueness on this theme, in particular our results for conditional monotone mean--variance and conditional entropic risk measures are complete and deep. As the basis for the work of this paper, this paper first begins with a brief introduction to random functional analysis, including the historical backgrounds for its birth and some important advances. This paper then further surveys some recent progress in random convex analysis and its applications to conditional convex risk measures. Finally, based on these, we establish a concise sufficient and necessary condition for a return to be a solution to the optimization problem of conditional monotone mean--variance. We also make use of the recently developed theory of $L^0$--convex compactness to establish the existence of the optimization problem of conditional entropic risk measure when the conditional mean of returns is given and the returns fall within a random closed ball. Besides, the related uniqueness problems are also solved.

研究の動機と目的

• 非確率的厳密凸でもなく、非強凸でもない条件付き凸リスク測度の最適化に関する体系的かつ包括的な研究の不足に対処する。
• 動的リスク測度下での最適化を支援するため、特に$L^0$–凸コンパクト性を含む確率的関数解析の基礎的結果を確立する。
• 条件付き単調な平均・分散およびエントロピックリスク測度最適化問題について、包括的かつ深い分析を提供する。
• 標準的凸性および強凸性の欠如に起因する存在・一意性の問題を、新規の理論的ツールを用いて解決する。

提案手法

• 非強凸かつ非厳密凸なリスク測度を取り扱うために、特に確率ノルムモジュールにおける$L^0$–凸コンパクト性を活用する。
• 確率的反射的$RN$モジュールにおけるほとんど確実に有界な確率的線形汎関数に対するハーン＝バナッハの定理を適用する。
• $RLC$モジュールにおける点と閉$L^0$–凸集合の分離定理を用いて、存在結果を導出する。
• $RIP$モジュールにおける確率的厳密凸性を用い、コーシー＝シュワルツの不等式における等号条件により一意性を証明する。
• 標準的な集合が機能しない場合に存在を保証するため、制約集合$G = \{x \in M : \pi(x) = 1, E[x|\mathcal{F}] = w, \|x\|_p \leq r\}$を導入する。
• 条件付きエントロピックリスク測度の表現を、条件付き期待値および対数変換を用いて導出し、一意性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付き単調な平均・分散リスク測度の最適ポートフォリオは、どのような条件下で存在するか？
• RQ2 リスク測度が強凸性を欠く場合、条件付きエントロピックリスク測度最適化の存在をどのように保証できるか？
• RQ3 条件付き単調な平均・分散最適化において、リターンが最適であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 条件付きエントロピックリスク測度最適化問題の解は、いつ一意的か？
• RQ5 $L^0$–凸コンパクト性は、条件付きリスク最適化における標準的凸性および強凸性の欠如をどのように克服できるか？

主な発見

• 条件付き単調な平均・分散リスク測度最適化における最適性の必要十分条件が、$L^0$–凸コンパクト性および分離定理を用いて確立された。
• リターンが確率的閉球内に制限され、条件付き平均が固定されている場合、条件付きエントロピックリスク測度最適化の最適解の存在が証明された。
• 確率的コーシー＝シュワルツの不等式における等号条件を用いて、条件付きエントロピックリスク測度最適化における最適解の一意性が確立された。
• 二つの解が等しいリスクをもたらす場合、対数変換および条件付き期待値を介して、それらがほとんど確実に等しいことが示され、条件付きエントロピックリスク測度問題の解が一意的であることが示された。
• 標準的な集合が強凸性の欠如により機能しない場合、制約集合$G = \{x : \pi(x) = 1, E[x|\mathcal{F}] = w, \|x\|_p \leq r\}$が存在を保証する。
• 一意性の証明は、$x = e^{-\gamma u/2} = \alpha y = e^{-\gamma v/2}$を示すことにより行われ、これにより$\alpha = 1$かつほとんど確実に$u = v$が導かれる。