[論文レビュー] Optimization with More than One Budget

Fabrizio Grandoni, Rico Zenklusen|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、定数個の予算制約を伴うk-予算最適化問題に対して、解が独立系を形成する場合の決定的および確率的多項式時間近似スキーム（PTAS/PRAS）を提示する。本稿では、多基準近似スキームを純粋なPTAS/PRASに変換する可能性を保証する新たな可能性保持変換を導入し、マトロイドポリトープの低次元面の性質を特に活用するトポロジカルおよび多面体的技術を発展させることで、マッチング、スパニングツリー、マトロイド独立集合などの問題に対して、いかなる予算制約も破られない(1−ε)-近似を達成する。

ABSTRACT

A natural way to deal with multiple, partially conflicting objectives is turning all the objectives but one into budget constraints. Some classical polynomial-time optimization problems, such as spanning tree and forest, shortest path, (perfect) matching, independent set (basis) in a matroid or in the intersection of two matroids, become NP-hard even with one budget constraint. Still, for most of these problems deterministic and randomized polynomial-time approximation schemes are known. In the case of two or more budgets, typically only multi-criteria approximation schemes are available, which return slightly infeasible solutions. Not much is known however for the case of strict budget constraints: filling this gap is the main goal of this paper. We show that shortest path, perfect matching, and spanning tree (and hence matroid basis and matroid intersection basis) are inapproximable already with two budget constraints. For the remaining problems, whose set of solutions forms an independence system, we present deterministic and randomized polynomial-time approximation schemes for a constant number k of budget constraints. Our results are based on a variety of techniques: 1. We present a simple and powerful mechanism to transform multi-criteria approximation schemes into pure approximation schemes. 2. We show that points in low dimensional faces of any matroid polytope are almost integral, an interesting result on its own. This gives a deterministic approximation scheme for k-budgeted matroid independent set. 3. We present a deterministic approximation scheme for 2-budgeted matching. The backbone of this result is a purely topological property of curves in R^2.

研究の動機と目的

• 2つ以上の予算制約を伴う多予算最適化問題における近似アルゴリズムのギャップを埋めること。特にk ≥ 2の場合に焦点を当てる。
• 既存の多基準スキームとは異なり、いかなる予算制約も違反しない多項式時間近似スキーム（PTAS/PRAS）を開発すること。
• 2つ以上の予算制約下での基本的問題（最短経路、完全マッチング、スパニングツリー）に対する近似不可能性結果を確立すること。
• 2つの予算制約からk ≥ 2の予算制約へ近似技法を一般化し、近似を可能にする重要な構造的性質を同定すること。
• 1-予算最適化バージョンの完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在するかを調査すること。特にマッチングおよびスパニングツリーに対して。

提案手法

• 予算違反を許容する多基準PTAS/PRASを、すべての予算制約を正確に満たす純粋なPTAS/PRASに変換する「可能性保持」メカニズムを提案する。
• 小さな要因で予算をスケーリングした後でも良い解が存在することを示すために、貪欲な破棄戦略を用いる。
• Carathéodoryの定理を用いて、マトロイドポリトープの頂点解を最大3つのマッチングの凸結合として表現し、反復的丸めを可能にする。
• R²における曲線のトポロジカルな性質を活用して、2予算マッチングにおけるエッジ交換のための区間を同定し、近似中に予算制約を満たすように保証する。
• マトロイドポリトープの低次元面の点がほぼ整数であることを活用し、k-予算マトロイド独立集合に対する決定的近似を可能にする。
• 2段階アルゴリズムを採用：まず最適解に含まれる重みの最も大きなエッジを予測し、次に制約付きポリトープ内の最大重み頂点を計算し、それをマッチングに分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≥ 2のk-予算最適化問題において、NP困難であるにもかかわらず、厳密な予算制約を多項式時間で満たすことは可能か？
• RQ2 予算にわずかに違反を許容する多基準近似スキームを、すべての予算を正確に満たす純粋な近似スキームに変換することは可能か？
• RQ3 マトロイドポリトープや解空間のどのような構造的性質が、k-予算マトロイド独立集合に対する決定的近似を可能にするか？
• RQ4 2予算マッチングに用いられたトポロジカルアプローチをk ≥ 3の予算制約へ一般化することは可能か？
• RQ5 1-予算スパニングツリーおよび1-予算マッチングに対して、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在するか？特に正確なマッチングとの関連を踏まえて。

主な発見

• k = 2であっても、k-予算スパニングツリー、最短経路、完全マッチング、マトロイド基底、マトロイドインターセクション基底は、P = NPでない限り、任意の定数因子で近似可能でない。
• 解集合が独立系を形成する問題に対しては、任意の定数k ≥ 2に対して決定的PTASおよび確率的PRASが存在し、(1−ε)-近似が達成され、いかなる予算制約も違反しない。
• 提案された可能性保持変換により、任意の多基準PTAS/PRASが純粋なPTAS/PRASに変換可能であり、厳密な予算遵守が可能になる。
• 2予算マッチングに対しては、R²における曲線のトポロジカルな議論により、決定的PTASが達成され、エッジ交換が予算制約を保つように保証される。
• k-予算マトロイド独立集合のためのアルゴリズムは、マトロイドポリトープの低次元面における点のほぼ整数性を活用し、(1−ε)-近似を達成する。
• アルゴリズムが返す解の重みは、最適解の重みの(1−ε)倍以上であり、最適解に含まれる重みが最大の6/ε個のエッジを予測した後でも、近似保証が成立する。